Question

作为一个学习项目，我使用c ++在软件中实现浮点运算（add，sub，mul，div）。目标是更加熟悉浮点行为的底层细节。

我正在尝试将我的处理器操作与精确位匹配，这意味着IEEE 754标准。到目前为止，它一直运行良好，添加，子和多种行为完美，我在大约1.1亿个随机操作上测试它，并获得与处理器硬件相同的结果。（虽然没有考虑边缘情况，溢出等）。

之后，我开始转到最后一次操作，师。它工作正常并达到想要的结果，但有时，我得到最后一个尾数位错误，而不是四舍五入。我有点难以理解为什么。我一直在使用的主要参考是来自 John Farrier 的精彩演讲（时间戳在它显示如何舍入的时候）：

这种四舍五入对所有操作都非常有效，但却给了我这个部门的麻烦。让我举个具体的例子。我试图将645.68011474609375除以493.20962524414063

我得到的最终结果是：

我的：0-01111111-0100111100100011110000 0

c ++ _：0-01111111-0100111100100011110000 1

正如你可以看到除了最后一位之外的一切都匹配。我计算分部的方式是基于这个视频： https://www.youtube.com/watch?v=fi8A4zz1d-s

在此之后，我计算尾数精度24位（隐藏的一个+ 23尾数）和3位用于保护，圆形粘性加上额外的一个用于可能的移位。使用视频算法，我最多可以得到1的归一化移位，这就是为什么我在末尾有一个额外的位，以防在规范化中移入，因此将在舍入中可用。现在这是我从除法算法得到的结果：

 010100111100100011110000 0100
 ------------------------ ----
 ^                        grs^
 |__ to be normalized        |____ extra bit

正如你所看到的，我在第24位得到0，所以我需要向左移动一个以获得正确的归一化。这意味着我会得到：

10100111100100011110000 100

根据John Farrier的视频，在 100 grs位的情况下，如果尾数的LSB为1，我只会归一化。在我的情况下是零，这就是为什么我不会把结果弄清楚。

我有点失落的原因是我确信我的算法正在计算正确的尾数，我已经用在线计算器对其进行了双重检查，舍入策略适用于所有其他操作。此外，以这种方式计算会触发归一化，最终产生正确的指数。

我错过了什么吗？某个小细节？

有一件事让我感到奇怪的是粘性位，在加法和乘法中你会得到不同程度的移位，这会导致粘性位触发的可能性更高，在这种情况下，我只移动一个最大值，使粘性位不是真正的粘性。

我希望我提供足够的细节来解决我的问题。在这里你可以找到我的部门实现的底部，有点填充我用于调试的打印，但应该知道我在做什么，代码从第374行开始：

PS：同时我正在经历＆＃34;科学家应该知道浮点数的所有内容＆＃34;为了看看我是否遗漏了什么。

Answer 1

从分割算法得到的结果是不合适的。你表明：

 010100111100100011110000 0100
 ------------------------ ----
 ^                        grs^
 |__ to be normalized        |____ extra bit

数学上准确的商仍在继续：

 010100111100100011110000 0100 110000111100100100011110…

因此，您正在舍入的点处的残留超过½ULP，因此应该向上舍入。我没有详细研究你的代码，但看起来你可能刚刚计算了一个或两个有效数字¹。实际上你需要知道残差是非零的，而不仅仅是它的下一位或两位是零。如果在精确数学结果中该位置或之外的任何位非零，则最终粘滞位应为1。

¹“有意义”是首选术语。 “尾数”是对数的小数部分的遗留项。浮点值的有效位数是线性的。尾数是对数的。