Question

众所周知，浮点值不能精确地表示每个十进制值。因此，1/3的浮点值不完全是1/3。因此，通常不建议直接比较浮点值。

然而，在本申请中，我试图确定两个分数a / b和c / d是否相等。如果是，那么存在整数e和f，使得a * e = c * f和b * e = d * f。假设a，b，c，d，e，f都是正整数，可以用浮点值精确表示。

在实践中，只需将a/b与c/d进行比较即可，但是它是否有效？ Python和/或IEEE-754中是否有某些东西可以保证这样的方案有效？

示例代码（显示此方案适用于合理数量的值）：

a = 1.0
b = 3.0
for c in xrange(1, 999):
    assert a / b == (a * c) / (b * c)

如果不能保证这一点，是否存在值a，b，c，d的反例，a / b = c / d（在数学中）但Python无法比较a / b == c / d？同样，这些都是正整数，Python可以在其浮点值中精确表示。

Answer 1

指定IEEE 754除法的行为就好像计算了除法的精确结果，然后舍入精确结果。如果a/b和c/d在精确算术中具有相同的值，那么由于IEEE 754舍入是一致且确定的，因此a/b和c/d必须在IEEE 754浮点中具有相同的结果点。

这仅适用于a/b和c/d在精确算术中确实具有相同值的情况。 a，b，c或d中的舍入错误可能会导致此错误。而且，反过来并不成立;如果浮点数为a/b == c/d，则表示a/b和c/d在精确算术中相等。

为什么不坚持整数，而不是处理浮点舍入？

a*d == b*c

可以在非整数算术中完成。或者，为什么不使用精确的理性类型？

from fractions import Fraction

Fraction(a, b) == Fraction(c, d)

Answer 2

通过IEEE-754中的划分规定，如果 a / b = c / d ，那么a/b == c/d，前提是使用一种浮点格式按照IEEE-754中的规定评估a/b == c/d中的操作。（Python没有做出这种保证;它继承了它所实现的任何平台的浮点行为，并且IEEE-754行为不是普遍保证的。）这是因为IEEE-754指定结果是精确的数学结果舍入到最近的可表示值（根据适用的舍入模式）。由于 a / b 和 c / d 的数学结果相同，因此计算结果相同。< / p>

但是，a/b == c/d并不意味着 a / b = c / d 。一个反例是1 / (0x1p53-1)和1 / (0x1p53-2)都产生1.11022302462515678694266454965700950366517665087069677287701097156968899071216583251953125•10 ^-16（十六进制浮点数，0x1.0000000000001p-53）。

Answer 3

好吧，我尝试了几个随机数，发现了这个。但正如@ user2357112指出的那样，这更多是由于测试的不足而不是一个好的例子。

离开这里来证明这一事实。

a = 653543435456556.0
b = 3.0

for c in range(1, 999):
    assert a / b == (a * c) / (b * c), (c, a / b - (a * c) / (b * c))

---------------------------------------------------------------------------
AssertionError                            Traceback (most recent call last)
<ipython-input-128-405615b37738> in <module>()
      2 b = 3.0
      3 for c in range(1, 999):
----> 4     assert a / b == (a * c) / (b * c), (c, a / b - (a * c) / (b * c))
      5 

AssertionError: (57, -0.03125)

浮点除法的一致性

3 个答案: