Problem 9-3 of the textbook Intro to Algorithms (CLRS)描述了一种快速O（n）算法，用于查找长度为n的数组的第k阶统计量（排序时数组中的第k个元素），对于k为多的特定情况小于n。当n为奇数时，我不确定该算法的正确性，并希望看到一种方法来证明它是正确的。
基本思想是我们首先将数组分成两半，第一部分是floor（n / 2）元素，第二部分是ceil（n / 2）元素。然后，我们＆＃34;合作伙伴＆＃34;前半部分中的每个元素与后半部分中的对应元素。当n为奇数时，会留下剩余的未合并元素。
对于每对合作伙伴，我们确保左侧合作伙伴是＆gt; =正确的合作伙伴，如果没有，则交换两个合作伙伴。然后，递归地找到后半部分的第k阶统计量，镜像在后半部分中进行的任何交换，并在前半部分中进行相应的交换。在此之后，整个数组的第k阶统计量必须在前半部分的前k个元素中，或者在后半部分中的前k个元素中。
我的困惑来自于数组长度n为奇数的情况，并且后半部分中有一个没有伙伴的单独元素。由于递归是在后半部分执行的，由数组的最后一个ceil（n / 2）元素组成，包括单独的无伙伴最后一个元素，我们应该镜像在后半部分中进行的所有交换，并在相应的内部进行交换上半年的合作伙伴，当其中一个掉期涉及最终因素时，不清楚该做什么，因为它没有合作伙伴。
教科书似乎并没有特别注意这个问题，所以我假设当交换涉及最终元素时，那么就不要让合作伙伴进行任何镜像移动。上半场。结果，最后的元素只是“偷”＆＃34;与谁交换的合作伙伴。但是，在这种情况下，是否有一种简单的方法来查看算法是否仍然正确？如果当最后一个元素窃取了其他人的伙伴时，该伙伴实际上是第k个订单统计数据，并且稍后会被交换到一个无法访问的位置？涉及顺序统计选择的递归和分区的机制对我来说是不够透明的，这样我就无法自信地排除这种情况。
答案 0 :(得分：1)
我不认为你对算法的描述是完全准确的（但是你所解释的解释远非明确）。据我了解，算法对于奇数长度数组是正确的原因如下：
让我们首先看一下偶数长度数组的几个例子，其中n = 10且k = 3（即我们正在寻找第三个最小的元素，即2）：
a. 5 2 7 6 1 9 3 8 4 0
b. 5 1 7 6 2 9 3 8 4 0
c. 5 0 7 6 2 9 3 8 4 1
d. 5 0 7 6 2 9 3 8 1 4
如果我们将数组分成两部分，我们得到：
a. 5 2 7 6 1 9 3 8 4 0
b. 5 1 7 6 2 9 3 8 4 0
c. 5 0 7 6 2 9 3 8 4 1
d. 5 0 7 6 2 9 3 8 1 4
和这对夫妇：
a. (5,9) (2,3) (7,8) (6,4) (1,0) <- 0 coupled with 1
b. (5,9) (1,3) (7,8) (6,4) (2,0) <- 0 coupled with 2
c. (5,9) (0,3) (7,8) (6,4) (2,1) <- 1 coupled with 2
d. (5,9) (0,3) (7,8) (6,1) (2,4) <- 0, 1 and 2 not coupled with each other
在比较和交换情侣之后，他们的最小元素在第一组中，我们得到：
a. 5 2 7 4 0 9 3 8 6 1
b. 5 1 7 4 0 9 3 8 6 2
c. 5 0 7 4 1 9 3 8 6 2
d. 5 0 7 1 2 9 3 8 6 4
您将看到最小的元素0将始终位于第一组中。第二小元素1将在第一组中，或者如果它与最小元素0耦合则在第二组中。第三小元素2将在第一组中，或者在第二组中，如果它与最小元素0或第二小元素1耦合。
所以最小元素在第一组中，第二和第三小元素可以在任一组中。这意味着第三小元素是第一组中的3个最小元素之一，或者是第二组中的2个（！）最小元素之一。
a. 5 2 7 4 0 9 3 8 6 1 -> 0 2 4 + 1 3
b. 5 1 7 4 0 9 3 8 6 2 -> 0 1 4 + 2 3
c. 5 0 7 4 1 9 3 8 6 2 -> 0 1 4 + 2 3
d. 5 0 7 1 2 9 3 8 6 4 -> 0 1 2 + 3 4
因此，如果我们说整个数组的第k个最小元素现在是任何一个组中第k个最小元素之一，那么第二个组中就有一个可用的点，并且＆＃39;为什么，在奇数长度数组中，我们将未耦合元素添加到第二组。无耦合元素是否是我们正在寻找的元素，它肯定是任何一个组中的第k个最小元素之一。
事实上，更确切地说，第k个最小元素是第一组中的k个最小元素之一，或者是第二个组中的k / 2 + 1个最小元素之一。我实际上不确定算法是最优的，甚至是正确的。有很多重复的比较和交换正在进行，并且当交换另一组中的相应元素时，跟踪一对夫妇和交换元素的想法似乎没有意义。< / I>