Question

我如何找到执行(y − 1)乘以x的基本算法的运行时间（以Big-O表示法）来查找x^y？

编辑：我还需要记住每次乘法的运行时间：“假设将n-bit数字乘以m-bit数字的时间为O(mn)”。< / p>

Answer 1

嗯，你只需要考虑每个操作的位数并总结它们。当然，我们会做一些简单的事情，因为它不会影响大O符号的答案。

因此，x中的位数是ceiling（log2（x））（即x的对数基数2之上的下一个整数）。为简单起见，我们将此号码称为b。这意味着x大于2 ^（b-1）且小于2 ^ b。因此x ^ 2大于2 ^（2（b-1））且小于2 ^（2b）。因此，我们假设x ^ 2的大小约为2b，并且通常x ^ n的大小为nb。这非常接近正确，因为它位于n（b-1）和nb之间。

我们的第一次乘法需要时间b * b = b ^ 2。我们的第二次乘法将需要2b * b（因为x ^ 2的大小为2b而x仍然是大小b）。我们的第三个将是3b * b（因为x ^ 3的大小为3b，x仍然是大小b）。所以，一般来说，我们的第n次乘法将是nb * b。

所以我们的总和看起来像b ^ 2 + 2b ^ 2 + 3b ^ 2 + ... +（y-1）b ^ 2。我们可以将b ^ 2分解出来，给我们（b ^ 2）（1 + 2 + 3 + ... +（y-1））。对于第二项，1 + 2 + 3 + ... +（y-1），我们可以使用1 + 2 + 3 + ... + n = n（n + 1）/ 2的公式。所以我们得到（b ^ 2）（y-1）（y）/ 2。

此时我们非常接近答案，但我们想要做两件事：我们想用x和y（而不是b）来表达一切，我们希望使用big-O表示法减少事物为简单起见。（y-1）（y）/ 2可以简化为O（y ^ 2）。 b = ceiling（log2（x）），可以简化为O（log（x））。替换回来，我们得到 O（（log（x））^ 2 * y ^ 2）。

当然，所有这些都假设我们使用的算法如下：

product = 1
for i = 1 to y
  product = product * x
return product

如果我们正在做一些比这更复杂和奇怪的事情：

xs = empty list
for i = 1 to y
  xs.addItem(x)
while xs is not empty
  num1 = xs.removeRandomItem
  num2 = xs.removeRandomItem
  xs.addItem(num1*num2)
return head(xs)

然后时序分析变得更加复杂。（注意，该算法也进行y-1次乘法并得到正确的结果。）

查找x ^ y的另一种常见算法是重复平方算法，其工作方式如下：

result = 1
temp = x
while y>0
  if y mod 2 = 1
    result = result * temp
    y = y - 1
  temp = temp * temp
  y = y / 2
return result

对于那个我们每轮进行两次乘法，其中涉及两个数字，每个数字的大小为b（2 ^ n），其中n是从0开始计算的圆数（即，我们经历过的次数） while循环）。因此在第n轮中，每次乘法将花费b（2 ^ n）* b（2 ^ n）=（b ^ 2）（2 ^（2n））。但它只是上限（log2（y））轮。所以它的运行时间是（b ^ 2）（2 ^ 0）+（b ^ 2）（2 ^ 2）+（b ^ 2）（2 ^ 4）+ ... +（b ^ 2）的总和）（2 ^（2 *天花板（LOG2（Y））））。因此，我们再次将b ^ 2分解为离开（b ^ 2）（2 ^ 0 + 2 ^ 2 + 2 ^ 4 + ... + 2 ^（2 * ceiling（log2（y））））。尽管看起来很复杂，但整个第二项实际上是O（y ^ 2）。一旦我们再次替换b，我们发现这个也是O（（log（x））^ 2 * y ^ 2）。因此，虽然当乘法是常数时间运算时这个算法更快，但当我们使用BigIntegers或其他任意精度类型时，它并不一定更快。这就是为什么它最常用于像矩阵乘法这样的情况，其中乘法的成本是恒定的但是很大。

Answer 2

O（logy）或O（y）取决于您选择的方法，您应该开始阅读http://mitpress.mit.edu/sicp/full-text/book/book-Z-H-11.html#%_sec_1.2.4

在（y-1）次乘法O（y）步数的情况下，假设乘法是一个运算，因为加倍y的大小将导致所需的运算量加倍，这称为线性过程。

LE：在这种情况下，你将有1 * n ^ 2 + 2 * n ^ 2 + ... + y * n ^ 2。第一次将数字乘以它因此n * n = n ^ 2第二次结果n * n（大小2n）乘以数n =＆gt; 2n ^ 2等等。

n ^ 2（1 + 2 + ... y）= n ^ 2 * y *（y + 1）/ 2

所以答案是O（n ^ 2 * y ^ 2）其中n = x中的位数（或n = ceil（log（x）））。

Answer 3

如果每次乘法都算作单个操作，那么需要y - 1步的算法只是O(y - 1) = O(y)，这是您在此问题中找到的最常见的答案。实际上，乘法不能在恒定时间内完成，所以你需要乘以你正在使用的multiplication algorithm的速度。

请注意，使用exponentiation by squaring，您可以执行少于y - 1次操作，而取幂算法可以改为O(log y)。

计算x ^ y的运行时间

3 个答案: