Question

我想在Coq中为列表唯一性及其可判定性函数定义谓词。我的第一次尝试是：

Section UNIQUE.
  Variable A : Type.
  Variable P : A -> Prop.
  Variable PDec : forall (x : A), {P x} + {~ P x}.


  Definition Unique (xs : list A) := exists! x, In x xs /\ P x.

我刚刚指定谓词Unique xs将保留，如果列表x中只有一个值xs，P x成立。现在，问题来了。当我试图定义其Unique可判定性时：

  Definition Unique_dec : forall xs, {Unique xs} + {~ Unique xs}.
    induction xs ; unfold Unique in *.
    +
      right ; intro ; unfold unique in * ; simpl in * ; crush.
    +
      destruct IHxs ; destruct (PDec a).
      destruct e as [y [Hiy HPy]].
  ...

我收到以下令人讨厌的错误消息：

Error: Case analysis on sort Set is not allowed for inductive definition ex.

我搜索了这条消息，并在不同的背景下看到了几个类似的问题。至少在我看来，这样的问题似乎与Coq模式匹配的一些限制有关，对吧？

现在问题已经解决了，我的问题是：

1）我想要的是根据可判定的谓词定义唯一性测试的可判定性。在标准库中，存在类似于存在和通用量词的测试。两者都可以定义为归纳谓词。有没有办法定义＆＃34;存在独特的＆＃34;作为列表中的归纳谓词？

2）有可能定义这样的谓词以使其与存在唯一的标准逻辑含义相匹配吗？喜欢存在！ x，P x =存在x，P x / \ forall y，P y - > x = y？

Answer 1

您遇到的问题是，您无法对ex（exists和exists!的基础归纳）进行模式匹配，以便生成sumbool类型的值（{_} + {_}表示法的类型），它是一个Type而不是Prop。“讨厌的错误消息”对于解决这个问题并不十分有用;有关建议的修复，请参阅this bug report。

为了避免这个问题，我认为你应该证明一个更强大的Unique版本可以在Type（a sig）而不是Prop中产生一些东西：

Definition Unique (xs : list A) := exists! x, In x xs /\ P x.
Definition UniqueT (xs : list A) := {x | unique (fun x => In x xs /\ P x) x}.

Theorem UniqueT_to_Unique : forall xs,
    UniqueT xs -> Unique xs.
Proof.
  unfold UniqueT, Unique; intros.
  destruct X as [x H].
  exists x; eauto.
Qed.

然后，您可以在类型中证明此定义的可判定性，并从那里证明您的原始陈述，如果您愿意：

Definition UniqueT_dec : forall xs, UniqueT xs + (UniqueT xs -> False).

正如安东的回答所提到的，这个证明需要A的可判定的相等，同样在类型中，即forall (x y:A), {x=y} + {x<>y}。

Answer 2

我只提供部分答案（评论太大了）。

如果我们采用允许多个副本的唯一性定义（如Arthur所述），那么Unique_dec意味着类型A的相等性可判定性（如@ejgallego所述）。

假设我们有

Unique_dec
     : forall (A : Type) (P : A -> Prop),
       (forall x : A, {P x} + {~ P x}) ->
       forall xs : list A, {Unique P xs} + {~ Unique P xs}

我们可以显示以下内容：

Lemma dec_eq A (a b : A) : a = b \/ a <> b.
Proof.
  pose proof (Unique_dec (fun (_ : A) => True) (fun _ => left I) [a;b]) as U.
  unfold Unique in U; destruct U as [u | nu].
  - destruct u as (x & [I _] & U).
    destruct I as [<- | [<- | contra]];
      [specialize (U b) | specialize (U a) |]; firstorder.
  - right; intros ->; apply nu; firstorder.
Qed.

列出唯一性谓词可判定性

2 个答案: