Question

假设我们有类似的东西：

假设x是实数。证明如果存在实数y使得（y + 1）/（y-2）= x，那么x＆lt;＆gt; 1" 。

如果以明显的方式制定它：forall x : R, (exists y, ((y + 1) * / (y - 2)) = x) -> x <> 1，很快就会遇到问题。

我们假设y存在((y + 1) * / (y - 2)) = x)。我错误地认为这也意味着y <> 2？有没有办法在Coq中恢复这些信息？

当然，如果存在这样的y，那么它不是2.如何在Coq中恢复这些信息 - 我是否需要明确地假设它（也就是说，没有办法通过存在实例化来恢复它不知何故？）。

当然，destruct H as [y]仅为((y + 1) * / (y - 2)) = x)提供y : R，但现在我们不知道y <> 2。

Answer 1

我错误地认为这也意味着y <> 2？

是。在Coq中，除法是一个完全无约束的函数：你可以将它应用于任何一对数，包括零除数。如果你想假设y <> 2，你需要将它作为明确的假设添加到你的引理中。

你可能会发现这个可怕：我们怎么能被允许将零分割？答案是没关系，只要你不试图争论0 * (x / 0) = x。 This question更详细地讨论了这个问题。

Answer 2

Coq中的实数是公理化定义的，即它们只是与类型相关的名称，名称上没有定义。基本数字（R0，R1）和实数（Rplus，Rmult等）上的操作不会被执行，即操作不是函数。从某种意义上说，只需通过构造实数来构建实数，就像使用数据构造函数一样（但我们不能在实数上进行模式匹配）。

以上意味着，例如1/0是有效的实数。它只是实数的公理的前提，禁止涉及这样的表达式的一些简化：我们不能将1/0 * 0之类的表达式重写为1（但是，我们可以将其重写为{ {1}}）。

以下是我们如何证明我们无法从

这样的表达式派生0的方法

y <> 2

因为我们被允许使用“奇怪的”实数：

(y + 1) / (y - 2) = x