Question

能否在Coq中证明这一引理？

Lemma liftExists : forall (P : nat -> nat -> Prop),
  (forall n:nat, exists p:nat, P n p)
  -> exists (f : nat -> nat), forall n:nat, P n (f n).

简单的destruct无法编译，因为我们无法消除类型exists p:nat, P n p的对象Prop来产生类型f的函数Set。

如果Coq无法证明这一引理，那么forall n:nat, exists p:nat, P n p是什么意思？在构造数学中，这将意味着函数f的存在，但我的印象是，我们永远不会在Coq中看到此函数f，甚至不会出现上述的Prop排序。

Answer 1

由于限制删除Prop到Set中的限制，在Coq中无法证明。至于哲学上的“含义”，我不确定是否有人对此有一个很好的故事。 forall n:nat, exists p:nat, P n p的居民是返回一对p和证明的函数，但除此之外，它们是编译程序时可以忽略的函数，因为您知道什么也看不到返回的值。

因此，该“ Prop vs Set”系统在某种程度上是一种更高效地编译程序的方法，但实际上，它也用于逻辑属性。在Coq中，Prop类型是强制性的，而Set类型不是强制性的，即使如此，也可以假定Props的排除中间定律是一个公理，并证明这是一致的，您可以诉诸“ proof-irrelevant model”。 ”，您可以通过忽略所有信息（无论是否有人居住）将“道具”中的类型解释为集合。从古典逻辑的角度（您所关心的只是真值）来看，这是有道理的，但是，如果您对构造数学感兴趣，那就有点奇怪了！

提升Coq中的存在性

1 个答案: