关于时间复杂性定义的难题

Question

维基百科将time complexity定义为

  

在计算机科学中，算法的时间复杂度是量化的   算法作为的函数运行所花费的时间量   表示输入的字符串的长度。

强势部分意味着什么？

我知道算法可以被视为一个函数，但是为什么它的输入必须是“代表”的字符串的长度？

Answer 1

定义来自图灵机的上下文，您可以在其中定义不同的状态。您可以使用计算机计算的每个功能也可以使用图灵机进行计算。（我会说计算机在图灵机的基础上计算功能）

每个功能只是从一个域到另一个域或同一个域的映射。

在去图灵机之前看看有限 -automata的概念。它有有限的状态。如果你的输入长度为n，那么它可能只需要两个统计数据但是它必须访问那些状态n次，其中n是字符串的最后一个。

不是一个好的草图但是看下面的图像，我们的最终状态是C，意味着是否 以c中的字符串结尾我们的字符串将被接受。

我们使用一元数字系统。我们想检查这个字符串是否被我们的自动机接受：string是010101010

当我们从0阅读A后，我们转移到B，如果我们再次阅读0，我们将移至C，如果我们以{{1}结尾我们的字符串被接受，否则我们再次移动到0。

在计算机中，您将数字表示为长度为A的字符串，为了计算它，您必须访问字符串的每个字符。

图灵机以相同的方式工作，但有限自动机仅限于常规语言。这是一个大理论

你有没有想过计算机如何计算函数2 * x，其中x是你的输入。 这很有趣：D。假设我想计算20 * 2，我用一元数字系统表示这个数字因为它很容易。所以我们用0表示，1表示11,2表示111等等，所以如果我们将20转换为一元系统，我们得到n。您可以想到图灵机或计算机（非高级），具有线性记忆的系统。

假设您的记忆中的空白点带有1111。

输入后你会有这样的事情：#其中###1111####表示内存中的空插槽，图灵机的输入头是#，所以你继续前进直到您找到第一个1，然后将其替换为#，这只是一个帮助符号，并将*的右侧更改为1现在向后移动并再更改一个#当您发现1 to *继续执行此操作时，{1}}并在右侧写one 1，左侧的所有#和所有*都会留下在右侧，现在将所有* s改回1，你有2 * x。这是跟踪，你有2 * x，其中x是你的输入。

重点是这些机器唯一记住的是状态。

1s

#####1111#######

#####111*1######

#####11**11#####

#####1***111####

#####****1111###

Answer 2

较大部分中的函数表示算法的时间复杂度，而不是算法本身。算法可以用具有函数关键字的编程语言来实现，但这是其他的东西。

算法MergeSort具有32m位的列表作为输入（假设m个32位值）。它的时间复杂度T（n）是n = 32m的函数，输入大小，并且在最坏的情况下，由上限O（n log n）。 MergeSort可以作为C或JavaScript中的函数实现。

Answer 3

摘要

如果有输入，则表示为字符串。所以你有一个字符串的长度。然后你有一个函数F，它将输入的长度（作为字符串）映射到A计算此输入所需的时间（在最坏的情况下）。

我们称之为F时间复杂度。

假设我们有一个算法A。它的时间复杂度是多少？

非常简单的案例

如果A具有恒定的复杂性，则输入无关紧要。输入可以是单个值，也可以是列表，也可以是从字符串到列表列表的映射。该算法将运行相同的时间。 3秒或1000蜱或一百万年或其他什么。恒定时间值不依赖于输入。

说实话并不太复杂。

增加复杂性

现在让我们假设A是一种排序整数列表的算法。很明显，A所需的时间现在取决于列表的长度。长度为0的列表实际上是按字面排序的（但是检查列表的长度）但如果输入列表的长度增加，则会更改。

您可以说存在一个函数F，它将列表长度映射到A排序该长度列表所需的秒数。可是等等！如果列表已经排序怎么办？因此，为简单起见，我们总是假设最坏的情况：F将列表长度映射到A排序该长度列表所需的最大秒数。

你可以用秒，CPU周期，滴答或其他来衡量。它不依赖于单位。

概括一点

所有其他算法都是什么？如何测量算法的时间复杂度，让我吃一顿美餐？

如果你不能定义任何输入参数，那么我们回到简单的情况：恒定时间。如果有一些输入，则表示为字符串。所以你有一个字符串的长度。并且 - 类似于上面所说的 - 然后你有一个函数F，它将输入的长度（作为字符串）映射到A计算此输入所需的时间< / strong>（在最坏的情况下）。

我们称之为F 时间复杂度。

这太简单了

是的，我知道。有平均情况和最好的情况，有大O符号和渐近复杂性。但是，我认为，为了解释原始问题中的大胆部分，这就足够了。