Question

来自XFillPolygon的手册页：

如果shape 复杂，则路径可能会自相交。请注意，路径中的连续重合点不会被视为自相交。



如果shape 凸面，则对于多边形内的每对点，连接它们的线段不会与路径相交。如果客户已知，指定凸面可以提高性能。如果为非凸的路径指定凸面，则图形结果未定义。



如果shape Nonconvex ，则路径不会自相交，但形状不是完全凸的。如果客户已知，指定 Nonconvex 而不是复杂可以提高效果。如果为自相交路径指定 Nonconvex ，则图形结果未定义。

我遇到填充XFillPolygon的性能问题，并且正如手册页所示，我要采取的第一步是指定多边形的正确形状。我目前正在使用复杂来保证安全。

是否有一种有效的算法来确定多边形（由一系列坐标定义）是凸面，非凸面还是复杂？

Answer 1

你可以比礼物包装算法更容易......当你有一组没有任何特定边界的点并且需要找到凸包时，这是一个很好的答案。

相反，考虑多边形不是自相交的情况，它由列表中的一组点组成，其中连续点形成边界。在这种情况下，更容易弄清楚多边形是否凸起（并且您也不必计算任何角度）：

对于多边形的每个连续边对（每个点的三元组），计算由按指令递增顺序指向点的边所定义的向量的叉积的z分量。取这些载体的叉积：

 given p[k], p[k+1], p[k+2] each with coordinates x, y:
 dx1 = x[k+1]-x[k]
 dy1 = y[k+1]-y[k]
 dx2 = x[k+2]-x[k+1]
 dy2 = y[k+2]-y[k+1]
 zcrossproduct = dx1*dy2 - dy1*dx2

如果交叉积的z分量全部为正或全为负，则多边形为凸。否则多边形是非凸的。

如果有N个点，请确保计算N个交叉产品，例如：一定要使用三元组（p [N-2]，p [N-1]，p [0]）和（p [N-1]，p [0]，p [1]）。

如果多边形是自相交的，那么it fails the technical definition of convexity即使其定向角度都在同一方向，在这种情况下，上述方法也不会产生正确的结果。

Answer 2

Stackoverflow不会让我删除已接受的答案，但我会结帐Rory Daulton's answer。

Answer 3

当您搜索＆＃34;确定凸多边形时，此问题现在是Bing或Google中的第一个项目。＆＃34;但是，没有一个答案是足够好的。

accepted answer by @EugeneYokota 通过检查无序点集是否可以制作凸多边形来工作，但这不是OP所要求的。他要求一种方法来检查给定的多边形是否凸起。（A＆＃34;多边形＆＃34;在计算机科学中通常被定义为[在XFillPolygon documentation]中作为2D点的有序数组，连续点与一侧连接，最后一点连接到第一点。）此外，在这种情况下，礼品包装算法的O(n^2)点的时间复杂度为n - 这比解决此问题实际需要的要大得多，而问题要求有效算法

@JasonS's answer ，以及其后的其他答案，接受star polygons，例如pentagram或@ zenna＆＃39; s注释，但星形多边形不被认为是凸的。如 @plasmacel在注释中注明，如果您事先知道多边形不是自相交的，那么这是一个很好的方法，但如果您没有这些知识，它可能会失败。

@Sekhat's answer 是正确的，但它的时间复杂度为O(n^2)，因此效率低下。

编辑后，

@LorenPechtel's added answer 是最好的，但它很模糊。

具有最佳复杂度的正确算法

我在这里提出的算法具有O(n)的时间复杂度，正确地测试多边形是否是凸的，并且传递了我抛出的所有测试。想法是遍历多边形的边，注意每一边的方向和连续边之间的方向的有符号变化。＆＃34;签名＆＃34;这里的意思是左边是正面，右边是负面（或反面），直线是零。这些角度归一化为在负-pi（不包括）和pi（包括）之间。求和所有这些方向变化角度（又名偏转角度）在一起将导致正或负一转（即对于凸多边形，360 度），而星形多边形（或自交叉环）将具有不同的总和（ n * 360 度，对于 n <对于所有偏转角度符号相同的多边形，/ em>整体转动。所以我们必须检查方向变化角度的总和是正负一转。我们还检查方向变化角度是全部是正的还是全部是负的而不是反转（pi弧度），所有点都是实际的2D点，并且没有连续的顶点是相同的。（最后一点是有争议的 - 您可能希望允许重复顶点，但我更愿意禁止它们。）这些检查的组合捕获所有凸多边形和非凸多边形。

以下是Python 3的代码，它实现了算法并包含一些小的效率。由于注释行和簿记涉及避免重复点访问，代码看起来比实际更长。

TWO_PI = 2 * pi def is_convex_polygon(polygon): """Return True if the polynomial defined by the sequence of 2D points is 'strictly convex': points are valid, side lengths non- zero, interior angles are strictly between zero and a straight angle, and the polygon does not intersect itself. NOTES: 1. Algorithm: the signed changes of the direction angles from one side to the next side must be all positive or all negative, and their sum must equal plus-or-minus one full turn (2 pi radians). Also check for too few, invalid, or repeated points. 2. No check is explicitly done for zero internal angles (180 degree direction-change angle) as this is covered in other ways, including the `n < 3` check. """ try: # needed for any bad points or direction changes # Check for too few points if len(polygon) < 3: return False # Get starting information old_x, old_y = polygon[-2] new_x, new_y = polygon[-1] new_direction = atan2(new_y - old_y, new_x - old_x) angle_sum = 0.0 # Check each point (the side ending there, its angle) and accum. angles for ndx, newpoint in enumerate(polygon): # Update point coordinates and side directions, check side length old_x, old_y, old_direction = new_x, new_y, new_direction new_x, new_y = newpoint new_direction = atan2(new_y - old_y, new_x - old_x) if old_x == new_x and old_y == new_y: return False # repeated consecutive points # Calculate & check the normalized direction-change angle angle = new_direction - old_direction if angle <= -pi: angle += TWO_PI # make it in half-open interval (-Pi, Pi] elif angle > pi: angle -= TWO_PI if ndx == 0: # if first time through loop, initialize orientation if angle == 0.0: return False orientation = 1.0 if angle > 0.0 else -1.0 else: # if other time through loop, check orientation is stable if orientation * angle <= 0.0: # not both pos. or both neg. return False # Accumulate the direction-change angle angle_sum += angle # Check that the total number of full turns is plus-or-minus 1 return abs(round(angle_sum / TWO_PI)) == 1 except (ArithmeticError, TypeError, ValueError): return False # any exception means not a proper convex polygon

Answer 4

以下Java函数/方法是this answer中描述的算法的实现。

public boolean isConvex()
{
    if (_vertices.size() < 4)
        return true;

    boolean sign = false;
    int n = _vertices.size();

    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        double dx1 = _vertices.get((i + 2) % n).X - _vertices.get((i + 1) % n).X;
        double dy1 = _vertices.get((i + 2) % n).Y - _vertices.get((i + 1) % n).Y;
        double dx2 = _vertices.get(i).X - _vertices.get((i + 1) % n).X;
        double dy2 = _vertices.get(i).Y - _vertices.get((i + 1) % n).Y;
        double zcrossproduct = dx1 * dy2 - dy1 * dx2;

        if (i == 0)
            sign = zcrossproduct > 0;
        else if (sign != (zcrossproduct > 0))
            return false;
    }

    return true;
}

只要顶点有序（顺时针或逆时针），并且没有自相交边（即它仅适用于simple polygons），该算法可以保证工作。

Answer 5

这是检查多边形是否凸的测试。

考虑沿多边形的每组三个点。如果每个角度都是180度或更小，则有一个凸多边形。当你弄清楚每个角度时，也保持一个总计（180 - 角度）。对于凸多边形，这将总计360。

此测试在O（n）时间内运行。

另请注意，在大多数情况下，您可以执行此计算并保存 - 大部分时间您都有一组要处理的多边形，并且不会一直在更改。

Answer 6

要测试多边形是否为凸面，多边形的每个点都应与每条线相同或相同。

以下是一张示例图片：

enter image description here

Answer 7

answer by @RoryDaulton 对我来说似乎是最好的，但如果其中一个角度恰好是0呢？有些人可能希望这样的边缘情况返回True，在这种情况下，改变＆＃34;＆lt; =＆＃34;到＆＃34;＆lt;＆＃34;在行：

if orientation * angle < 0.0:  # not both pos. or both neg.

以下是我的测试用例，其中突出显示了该问题：

# A square    
assert is_convex_polygon( ((0,0), (1,0), (1,1), (0,1)) )

# This LOOKS like a square, but it has an extra point on one of the edges.
assert is_convex_polygon( ((0,0), (0.5,0), (1,0), (1,1), (0,1)) )

第二个断言在原始答案中失败了。应该是？对于我的用例，我希望它没有。

Answer 8

这个方法适用于简单的多边形（没有自相交的边），假设顶点是有序的（顺时针或反向）

对于顶点数组：

vertices = [(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)]

以下python实施检查所有交叉产品的z组件是否具有相同的符号

def zCrossProduct(a,b,c):
   return (a[0]-b[0])*(b[1]-c[1])-(a[1]-b[1])*(b[0]-c[0])

def isConvex(vertices):
    if len(vertices)<4:
        return True
    signs= [zCrossProduct(a,b,c)>0 for a,b,c in zip(vertices[2:],vertices[1:],vertices)]
    return all(signs) or not any(signs)

Answer 9

我实现了两种算法：@UriGoren发布的算法（只有一个很小的改进 - 只有整数数学）和来自@RoryDaulton的算法。我遇到了一些问题，因为我的多边形是关闭的，所以当它是凸的时，两种算法都将第二种算法视为凹面。所以我改变它以防止这种情况。我的方法也使用基本索引（可以是或不是0）。

这些是我的测试顶点：

// concave
int []x = {0,100,200,200,100,0,0};
int []y = {50,0,50,200,50,200,50};

// convex
int []x = {0,100,200,100,0,0};
int []y = {50,0,50,200,200,50};

现在算法：

private boolean isConvex1(int[] x, int[] y, int base, int n) // Rory Daulton
{
  final double TWO_PI = 2 * Math.PI;

  // points is 'strictly convex': points are valid, side lengths non-zero, interior angles are strictly between zero and a straight
  // angle, and the polygon does not intersect itself.
  // NOTES:  1.  Algorithm: the signed changes of the direction angles from one side to the next side must be all positive or
  // all negative, and their sum must equal plus-or-minus one full turn (2 pi radians). Also check for too few,
  // invalid, or repeated points.
  //      2.  No check is explicitly done for zero internal angles(180 degree direction-change angle) as this is covered
  // in other ways, including the `n < 3` check.

  // needed for any bad points or direction changes
  // Check for too few points
  if (n <= 3) return true;
  if (x[base] == x[n-1] && y[base] == y[n-1]) // if its a closed polygon, ignore last vertex
     n--;
  // Get starting information
  int old_x = x[n-2], old_y = y[n-2];
  int new_x = x[n-1], new_y = y[n-1];
  double new_direction = Math.atan2(new_y - old_y, new_x - old_x), old_direction;
  double angle_sum = 0.0, orientation=0;
  // Check each point (the side ending there, its angle) and accum. angles for ndx, newpoint in enumerate(polygon):
  for (int i = 0; i < n; i++)
  {
     // Update point coordinates and side directions, check side length
     old_x = new_x; old_y = new_y; old_direction = new_direction;
     int p = base++;
     new_x = x[p]; new_y = y[p];
     new_direction = Math.atan2(new_y - old_y, new_x - old_x);
     if (old_x == new_x && old_y == new_y)
        return false; // repeated consecutive points
     // Calculate & check the normalized direction-change angle
     double angle = new_direction - old_direction;
     if (angle <= -Math.PI)
        angle += TWO_PI;  // make it in half-open interval (-Pi, Pi]
     else if (angle > Math.PI)
        angle -= TWO_PI;
     if (i == 0)  // if first time through loop, initialize orientation
     {
        if (angle == 0.0) return false;
        orientation = angle > 0 ? 1 : -1;
     }
     else  // if other time through loop, check orientation is stable
     if (orientation * angle <= 0)  // not both pos. or both neg.
        return false;
     // Accumulate the direction-change angle
     angle_sum += angle;
     // Check that the total number of full turns is plus-or-minus 1
  }
  return Math.abs(Math.round(angle_sum / TWO_PI)) == 1;
}

现在来自Uri Goren

private boolean isConvex2(int[] x, int[] y, int base, int n)
{
  if (n < 4)
     return true;
  boolean sign = false;
  if (x[base] == x[n-1] && y[base] == y[n-1]) // if its a closed polygon, ignore last vertex
     n--;
  for(int p=0; p < n; p++)
  {
     int i = base++;
     int i1 = i+1; if (i1 >= n) i1 = base + i1-n;
     int i2 = i+2; if (i2 >= n) i2 = base + i2-n;
     int dx1 = x[i1] - x[i];
     int dy1 = y[i1] - y[i];
     int dx2 = x[i2] - x[i1];
     int dy2 = y[i2] - y[i1];
     int crossproduct = dx1*dy2 - dy1*dx2;
     if (i == base)
        sign = crossproduct > 0;
     else
     if (sign != (crossproduct > 0))
        return false;
  }
  return true;
}

Answer 10

将Uri的代码改编成matlab。希望这可能有所帮助。

请注意，Uri的算法仅适用于 简单多边形！所以，一定要先测试多边形是否简单！

% M [ x1 x2 x3 ...
%     y1 y2 y3 ...]
% test if a polygon is convex

function ret = isConvex(M)
    N = size(M,2);
    if (N<4)
        ret = 1;
        return;
    end

    x0 = M(1, 1:end);
    x1 = [x0(2:end), x0(1)];
    x2 = [x0(3:end), x0(1:2)];
    y0 = M(2, 1:end);
    y1 = [y0(2:end), y0(1)];
    y2 = [y0(3:end), y0(1:2)];
    dx1 = x2 - x1;
    dy1 = y2 - y1;
    dx2 = x0 - x1;
    dy2 = y0 - y1;
    zcrossproduct = dx1 .* dy2 - dy1 .* dx2;

    % equality allows two consecutive edges to be parallel
    t1 = sum(zcrossproduct >= 0);  
    t2 = sum(zcrossproduct <= 0);  
    ret = t1 == N || t2 == N;

end

如何有效地确定多边形是凸的，非凸的还是复杂的？

10 个答案: