Question

我正在实现一个实时图形引擎（C ++ / OpenGL），它可以沿着多项式函数描述的指定路线随时间移动车辆。函数本身是在应用程序之外以编程方式生成的，并且是高阶的（我相信> 25），所以我不能在这里发布它（我认为无论如何都不重要）。在运行期间，函数不会改变，所以很容易计算一次和二次导数，以便以后快速使用它们。

我的问题是我必须以恒定速度（比如每秒10个单位）沿着曲线移动，所以我的函数参数不等于直接的时间，因为两个点x1和x2之间的弧长不同依赖关于功能值。例如，差f（a + 1） - f（a）可以大于或小于f（b + 1） - f（b），这取决于函数在点a和b处的看法。

我不需要100％准确的解决方案，因为移动只是可视的，不会再进一步处理，所以任何近似都可以。另外请记住，必须在运行时每帧（60fps）计算整个事物，因此根据计算时间，解决具有复杂数学的巨大方程可能是不可能的。

我有点迷失在哪里开始，所以即使是任何思路都会受到高度赞赏！

Answer 1

给定恒定速度和帧之间的时间，可以计算帧之间所需的弧长。所以以下函数应该完成这项工作：

#include <cmath>
typedef double (*Function)(double);

double moveOnArc(Function f, const double xStart, const double desiredArcLength, const double dx = 1e-2)
{
  double arcLength = 0.;
  double fPrev = f(xStart);
  double x = xStart;
  double dx2 = dx*dx;
  while (arcLength < desiredArcLength)
  {
    x += dx;
    double fx = f(x);
    double dfx = fx - fPrev;
    arcLength += sqrt(dx2 + dfx*dfx);
    fPrev = fx;
  }
  return x;
}

由于您说准确性不是最高标准，因此选择适当的dx上述功能可能会立即生效。当然，可以通过自动调整dx（例如基于二阶导数）或通过二进制搜索优化端点来改进。

Answer 2

由于标准不是一个确切的解决方案，而是一个视觉上吸引人的近似，因此有多种可能的解决方案可供尝试。

第一个方法（由Alnitak在评论中提出，后来由coproc回答）我实现了，它通过微小的迭代逼近实际的arclength积分。这个版本在大多数情况下工作得非常好，但是在非常陡峭的角度下并不可靠，并且在平面角度下使用了太多的迭代。正如coproc在答案中已经指出的那样，一个可能的解决方案是将dx建立在二阶导数上。

所有这些调整都可以，但是，我需要一个运行时友好的算法。有了这个，很难预测迭代次数，这就是我对它不满意的原因。

第二方法（也受到Alnitak的启发）正在利用＆＃34;推动＆＃34;沿计算斜率的车辆（等于当前x值的导数）。计算下一个x值的功能非常紧凑和快速。在视觉上没有明显的不准确性，结果总是一致的。（这就是我选择它的原因）

float current_x = ...; //stores current x
float f(x) {...}
float f_derv(x) {...}

void calc_next_x(float units_per_second, float time_delta) {
  float arc_length = units_per_second * time_delta;
  float derv_squared = f_derv(current_x) * f_derv(current_x);
  current_x += arc_length / sqrt(derv_squared + 1);
}

然而，这种方法可能仅对于具有高帧时间（我的> 60fps）的情况而言足够准确，因为对象总是沿着具有取决于所述帧时间的长度的直线被推动。

以相对于弧长的恒定速度评估功能

2 个答案: