Question

假设我们有一个递归函数，只有在随机生成的参数满足某些条件时才会终止：

e.g：

{
define (some-recursive-function)

    x = (random in range of 1 to 100000);
    if (x == 10)
    {
        return "this function has terminated";
    }
    else
    {
        (some-recursive-function)
    }
}

我理解对于无限循环，不会定义复杂性。肯定终止的某些功能怎么样，但是在一段未知的时间之后呢？

找到平均时间复杂度就可以了。如果一个存在，如何找到更糟糕的案例时间复杂度？

提前谢谢！

编辑：有几个人指出，我完全错过了这个功能没有输入的事实。相反，我们假设：

{define (some-recursive-function n)

    x = (random in range of 1 to n);
    if (x == 10)
    {
        return "this function has terminated";
    }
    else
    {
        (some-recursive-function)
    }
}

这会改变什么吗？

Answer 1

如果没有n的函数从上面限定函数的运行时，那么就没有运行时的上限。根据具体情况，运行时可能存在下限。我们也可以谈论预期的运行时，甚至将边界放在预期的运行时上，但这与一般情况下的边界不同，另一方面，与运行时本身的界限不同。

正如它目前所写的那样，当n小于10时，根本没有界限：该函数在任何情况下都不会终止。对于n> = 10，在任何情况下仍然没有上限 - 它可能需要任意长的时间来完成 - 但是在任何情况下的下限都是线性的（你必须至少读取n的值，它由N = ceiling（log n）位组成;您选择不大于n的随机数的方法可能需要额外的时间和/或空间）。这里的案例行为相当无趣。

如果我们根据输入的值（而不是长度）考虑函数的预期运行时间，我们观察到任何特定调用都有1 / n几率选择正确的随机数（同样，对于n＆gt; ; = 10）;我们认识到，我们需要尝试获得一次的次数由几何分布给出，并且期望值为1 /（1 / n）= n。因此，预期的递归深度是输入值n的线性函数，因此是输入大小的指数函数，N = log n。我们恢复了预期的确切表达;因此，上限和下限都是线性的，这涵盖了所有情况（最佳，最差，平均等）我说递归深度，因为运行时还会有一个额外因子N = log n或更多，由于对前一段的观察。

Answer 2

您需要知道有“简单”公式来计算递归算法的复杂性，使用当然重现。

在这种情况下，我们显然需要知道什么是递归算法，因为在最好的情况下，它是O（1）（时间复杂度），但在最坏的情况下，我们需要添加O（n）（具有考虑到数字可能会重复到算法本身的复杂性。

我会把这个问题/答案放在更多设施上：

Determining complexity for recursive functions (Big O notation)

最坏情况时间依赖于随机结果终止的算法的复杂性？

2 个答案: