给定3D空间中的一条线，我如何找到从它到一个点的角度？

Question

我在3D空间中有两组点。我想绘制一条穿过两组点中心的线，然后找到从该线到每个点的角度。从那里开始，我会根据它们两个角度的接近程度来匹配两组中的点。

我知道如何找到每组点的中心（只是将它们全部放在一起），我知道如何匹配它们（甚至考虑到它们将要包裹的事实），但我不会＆＃39 ; t知道如何找到从直线到点的角度。

基本上我说我希望所有的点都投射到一个平面上，该平面居中并垂直于贯穿中心的直线，我希望从该直线到该平面上的每个点的角度。

我希望我已经清楚了......我没有接受过很多关于这种事情的正式训练（有点让我想起几年前大学的Diff Eq），所以请问我是否＃＆＃ 39;可能会误用一个术语并使你感到困惑。

我认为我可以翻译任何其他语言的解决方案为我工作，因为我认为这主要是语言无关的数学，但我正在使用Three.JS，所以如果你的解决方案在javascript / with Three中工作.JS（这里是他们的Vector3 class documentation，只是让你知道它提供的帮助功能），这是最有帮助的。谢谢！

Answer 1

通常，2个向量的 dot 乘积等于2个向量之间角度的余弦乘以两个向量的幅度（长度）。

dot( A, B ) == | A | * | B | * cos( angle_A_B ) 

接下来，2个单位向量的 dot 乘积等于2个向量之间角度的余弦，因为单位向量的长度为1。

uA = normalize( A )
uB = normalize( B )
cos( angle_A_B ) == dot( uA, uB )

在 three.js 中，所有计算都可以通过THREE.Vector3的操作完成：

var a = new THREE.Vector3( ..... );
var b = new THREE.Vector3( ..... );

a.normalize();
b.normalize();

var cosAB = a.dot( b );
var angle_in_radians = Math.acos( cosAB );

如下面的评论所述，在 three.js 中有一个操作 .angleTo ，这简化了很多事情：

var angle_in_radians = a.angleTo(b);

如果您有3个点Pa，Pb，Pc，Pd，则定义从Pa到Pb的2行并形成{{1 } Pc，然后可以按如下方式计算2个向量：

Pd