嗨我很难显示T（n）这三种算法的运行时间。假设包括T（0）= 0。
1）我知道这个离Fibonacci很近，所以我知道它接近O（n）时间，但是很难证明： T（n）= T（n-1）+ T（n-2）+1
2）我觉得这很困难，但认为它大约是O（log log n）： T（n）= T（[sqrt（n）]）+ n。 n大于或等于1. sqrt（n）是下限。
3）我相信这个大致为O（n * log log n）： T（n）= 2T（n / 2）+（n /（log n））+ n。
感谢您的帮助。
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T（n）= T（n-1）+ T（n-2）+ 1
假设T（0）= 0且T（1）= a，对于某些常数a，我们注意到T（n） - T（n-1）= T（n-2）+ 1.即，函数的增长率由函数本身给出，这表明该函数具有指数增长。
设T'（n）= T（n）+ 1.然后T'（n）= T'（n-1）+ T'（n-2），通过上述递归关系，我们已经消除麻烦的常数。 T（n）和U（n）的常数因子为1，所以假设它们都是非递减的（它们是），那么它们将具有相同的渐近复杂度，尽管对于不同的常数n0。
为了表明T'（n）具有O（b ^ n）的渐近增长，我们需要一些基本情况，然后假设条件适用于所有n，例如k - 1，然后我们需要将其显示为k，即，c b ^（n-2）+ c b ^（n-1）＆lt; ç b ^ N。我们可以通过c b ^（n-2）除以将其简化为1 + b <= b ^ 2。重新排列，我们得到b ^ 2 - b - 1＆gt; 0;根是（1 + - sqrt（5））/ 2，我们必须抛弃负数，因为我们不能使用负数作为指数的基数。因此，对于b> =（1 + sqrt（5））/ 2，T'（n）可以是O（b ^ n）。类似的思想实验将表明，对于b <=（1 + sqrt（5））/ 2，T'（n）可以是Omega（b ^ n）。因此，对于b =（1 + sqrt（5））/ 2，T'（n）可以是Theta（b ^ n）。
通过归纳完成证明T（n）= O（b ^ n）留作练习。
T（n）= T（[sqrt（n）]）+ n
显然，假设边界条件要求T（n）是非负的，则T（n）至少是线性的。我们可能猜测T（n）是Theta（n）并试图证明它。基本情况：设T（0）= a，T（1）= b。然后T（2）= b + 2并且T（4）= b + 6.在两种情况下，c> = 1.5的选择将使T（n）<1。 CN。假设无论我们的c的固定值是否适用于所有n，包括k。我们必须证明T（[sqrt（k + 1）]）+（k + 1）＆lt; = c *（k + 1）。我们知道来自归纳假设的T（[sqrt（k + 1）]）＆lt; = c sqrt（k + 1）。所以T（[sqrt（k + 1）]）+（k + 1）＆lt; = c sqrt（k + 1）+（k + 1），c sqrt（k + 1） +（k + 1）＆lt; = c （k + 1）可以重写为cx + x ^ 2＆lt; = cx ^ 2（x = sqrt（k + 1））;除以x（OK，因为k> 1）我们得到c + x＆lt; = cx，并且为c求解这个得到c> = x /（x-1）= sqrt（k + 1）/（sqrt）第（k + 1）-1）。这最终接近1，因此对于足够大的n，任何常数c> 1。 1会起作用。
通过修正以下几点使这个证据完全严格，这是一个练习：
T（n）= 2T（n / 2）+（n /（log n））+ n
该T（n）> 2T（n / 2）+ n，我们知道Mergesort运行时的递归关系，由Master定理为O（n log n），我们知道我们的复杂度不低于此。
实际上，通过主定理：T（n）= 2T（n / 2）+（n /（log n））+ n = 2T（n / 2）+ n（1 + 1 /（log n） ），所以
我们在主定理2的情况下仍然存在，因此渐近界限与Mergesort，Theta（n log n）相同。