Question

我和我的朋友讨论了以下算法问题，

"Describe a recursive algorithm for finding the maximum element in an array A of n        
elements. What is your running time and space usage?"

我们得出结论，它有O（n）时间使用。根据这个陈述， F（n）=比较A [n]和F（n-1），在递归的基本情况下，它比较A [0]和A [1]，然后返回更大的一个，将与A [2]进行比较。随着递归的进行，最后，它将返回数组中的最大元素。

每n次递归，它只比较一次，所以最后我们猜测它有O（n）时间使用。我的问题是我们对我们的解决方案不确定，因此我们需要关于此算法和我们的解决方案的任何其他意见。谢谢。

Answer 1

是。你是对的，它实际上是O(n)。你怎么做得很简单，

算法的基本操作是比较。并且在递归步骤中，仅进行一次比较。

所以你可以说

m(n) = m(n-1) + 1
m(n-1) = m(n-2) + 1 + 1
m(n-2) = m(n-3) + 2 + 1

概括我们

m(n-i) = m(n-1-i) + i + 1

现在在你的basecase中，你将不做任何比较（basecase没有剩下的元素，所以你返回当前最大的）。你可以把它写成

m(0) = 1

现在用递推方程代替得到基本情况，让i = n-1

我们得到了

m(n) = m(0) + n - 1 + 1

但是m(0) = 0

所以我们得到

m(n) = n

因此，您的算法为O(n)。还有其他方法可以证明这一点。即使没有数学证明，您也可以逻辑地说您的算法是O(n)，因为它在每个递归步骤中只执行一个基本操作，并且算法将始终递归n个步骤而不管输入。

Answer 2

如果数组包含integers，您可以找到时间复杂度。在数字的情况下，比较两个数字可以被认为是单位操作。在迭代数组时，为了找到最大值，此操作执行n次。因此O(n)。

但是如果数组包含复杂的数据类型，比如string，那么比较两个字符串不能被视为单元操作。要比较字符串，您可能必须迭代字符串的每个字符。在这种情况下，算法的时间复杂度也可能取决于数组中字符串的长度。类似地，对于其他数据类型，比较两个对象可能不是单元操作。但在你的情况下，看起来数组包含数字，所以你很好。

递归算法的时间使用

2 个答案: