Question

我的目标是将一个球体放在鼠标指向的位置（Z-coord为0）。

我看到了这个question，但我还没有理解MVP矩阵概念，所以我研究了一下，现在我有两个问题：

如何从相机设置（例如查找，眼睛和向上矢量）创建视图矩阵？

我还阅读了this tutorial about several camera types这个webgl。

我仍然可以将它们放在一起我不知道如何获得投影矩阵...

我应该采取哪些措施来实现所有这些目标？

Answer 1

在渲染中，场景的每个网格通常由模型矩阵，视图矩阵和投影矩阵进行变换。

投影矩阵：
投影矩阵描述了从场景的3D点到视口的2D点的映射。投影矩阵从视图空间转换到剪辑空间，剪辑空间中的坐标转换为范围（-1，-1，-1）到（1,1,1）范围内的规范化设备坐标（NDC）通过用剪辑坐标的w分量划分。
查看矩阵：
视图矩阵描述了查看场景的方向和位置。视图矩阵从世界空间转换到视图（眼睛）空间。在视口的坐标系中，X轴指向左侧，Y轴向上，Z轴指向视图外（在右侧系统中注意，Z轴是X-的交叉积）轴和Y轴）。
模型矩阵：
模型矩阵定义场景中网格的位置，方向和相对大小。模型矩阵将顶点位置从网格转换为世界空间。

模型矩阵如下所示：

( X-axis.x, X-axis.y, X-axis.z, 0 )
( Y-axis.x, Y-axis.y, Y-axis.z, 0 )
( Z-axis.x, Z-axis.y, Z-axis.z, 0 )
( trans.x,  trans.y,  trans.z,  1 )

视图

在视口上，X轴指向左侧，Y轴向上，Z轴指向视图外（注意在右侧系统中，Z轴是X轴和X轴的交叉积Y轴）。

下面的代码定义了一个矩阵，它完全封装了计算场景外观所需的步骤：

将模型坐标转换为视口坐标。
旋转，以查看视图的方向。
移动到眼睛位置

以下代码与gluLookAt或glm::lookAt相同：

using TVec3  = std::array< float, 3 >;
using TVec4  = std::array< float, 4 >;
using TMat44 = std::array< TVec4, 4 >;

TVec3 Cross( TVec3 a, TVec3 b ) { return { a[1] * b[2] - a[2] * b[1], a[2] * b[0] - a[0] * b[2], a[0] * b[1] - a[1] * b[0] }; }
float Dot( TVec3 a, TVec3 b ) { return a[0]*b[0] + a[1]*b[1] + a[2]*b[2]; }
void Normalize( TVec3 & v )
{
    float len = sqrt( v[0] * v[0] + v[1] * v[1] + v[2] * v[2] );
    v[0] /= len; v[1] /= len; v[2] /= len;
}

TMat44 Camera::LookAt( const TVec3 &pos, const TVec3 &target, const TVec3 &up )
{ 
    TVec3 mz = { pos[0] - target[0], pos[1] - target[1], pos[2] - target[2] };
    Normalize( mz );
    TVec3 my = { up[0], up[1], up[2] };
    TVec3 mx = Cross( my, mz );
    Normalize( mx );
    my = Cross( mz, mx );

    TMat44 v{
        TVec4{ mx[0], my[0], mz[0], 0.0f },
        TVec4{ mx[1], my[1], mz[1], 0.0f },
        TVec4{ mx[2], my[2], mz[2], 0.0f },
        TVec4{ Dot(mx, pos), Dot(my, pos), -Dot(mz, pos), 1.0f }
    };

    return v;
}

投影

投影矩阵描述了从场景的3D点到视口的2D点的映射。它从眼睛空间转换到剪辑空间，并且通过用剪辑坐标的w分量进行划分，将剪辑空间中的坐标转换为规范化设备坐标（NDC）。 NDC在（-1，-1，-1）到（1,1,1）的范围内。
每个在NDC之外的几何体都被剪裁。

相机平截头体的近平面和远平面之间的物体被映射到NDC的范围（-1,1）。

正投影

在Orthographic Projection中，眼睛空间中的坐标线性映射到标准化设备坐标。

正交投影矩阵：

r = right, l = left, b = bottom, t = top, n = near, f = far 

2/(r-l)         0               0               0
0               2/(t-b)         0               0
0               0               -2/(f-n)        0
-(r+l)/(r-l)    -(t+b)/(t-b)    -(f+n)/(f-n)    1

透视投影

在Perspective Projection中，投影矩阵描述了从针孔相机到视口的2D点看世界中3D点的映射。
相机平截头体（截头金字塔）中的眼睛空间坐标被映射到立方体（标准化设备坐标）。

透视投影矩阵：

r = right, l = left, b = bottom, t = top, n = near, f = far

2*n/(r-l)      0              0                0
0              2*n/(t-b)      0                0
(r+l)/(r-l)    (t+b)/(t-b)    -(f+n)/(f-n)    -1    
0              0              -2*f*n/(f-n)     0

其中：

a = w / h
ta = tan( fov_y / 2 );

2 * n / (r-l) = 1 / (ta * a)
2 * n / (t-b) = 1 / ta

如果投影是对称的，视线位于视口中心且视野不移位，则矩阵可以简化：

1/(ta*a)  0     0              0
0         1/ta  0              0
0         0    -(f+n)/(f-n)   -1    
0         0    -2*f*n/(f-n)    0

以下函数将计算与gluPerspective相同的投影矩阵：

#include <array>

const float cPI = 3.14159265f;
float ToRad( float deg ) { return deg * cPI / 180.0f; }

using TVec4  = std::array< float, 4 >;
using TMat44 = std::array< TVec4, 4 >;

TMat44 Perspective( float fov_y, float aspect )
{
    float fn = far + near
    float f_n = far - near;
    float r = aspect;
    float t = 1.0f / tan( ToRad( fov_y ) / 2.0f );

    return TMat44{ 
        TVec4{ t / r, 0.0f,  0.0f,                 0.0f },
        TVec4{ 0.0f,  t,     0.0f,                 0.0f },
        TVec4{ 0.0f,  0.0f, -fn / f_n,            -1.0f },
        TVec4{ 0.0f,  0.0f, -2.0f*far*near / f_n,  0.0f }
    };
}

3透视投影中恢复视图空间位置的解决方案

使用视野和方面

由于投影矩阵由视场和纵横比定义，因此可以使用视场和纵横比恢复视口位置。如果它是对称透视投影和标准化设备坐标，则深度和近远平面是已知的。

恢复视图空间中的Z距离：

z_ndc = 2.0 * depth - 1.0;
z_eye = 2.0 * n * f / (f + n - z_ndc * (f - n));

通过XY标准化设备坐标恢复视图空间位置：

ndc_x, ndc_y = xy normalized device coordinates in range from (-1, -1) to (1, 1):

viewPos.x = z_eye * ndc_x * aspect * tanFov;
viewPos.y = z_eye * ndc_y * tanFov;
viewPos.z = -z_eye;

2. 使用投影矩阵

由视场和纵横比定义的投影参数存储在投影矩阵中。因此，视口位置可以通过投影矩阵中的值从对称透视投影中恢复。

注意投影矩阵，视野和纵横比之间的关系：

prjMat[0][0] = 2*n/(r-l) = 1.0 / (tanFov * aspect);
prjMat[1][1] = 2*n/(t-b) = 1.0 / tanFov;

prjMat[2][2] = -(f+n)/(f-n)
prjMat[2][2] = -2*f*n/(f-n)

恢复视图空间中的Z距离：

A     = prj_mat[2][2];
B     = prj_mat[3][2];
z_ndc = 2.0 * depth - 1.0;
z_eye = B / (A + z_ndc);

通过XY标准化设备坐标恢复视图空间位置：

viewPos.x = z_eye * ndc_x / prjMat[0][0];
viewPos.y = z_eye * ndc_y / prjMat[1][1];
viewPos.z = -z_eye;

3. 使用反投影矩阵

当然，视口位置可以通过反投影矩阵来恢复。

mat4 inversePrjMat = inverse( prjMat );
vec4 viewPosH      = inversePrjMat * vec4(ndc_x, ndc_y, 2.0*depth - 1.0, 1.0)
vec3 viewPos       = viewPos.xyz / viewPos.w;

进一步了解：

OpenGL - 鼠标坐标到空间坐标

1 个答案:

视图

投影

3透视投影中恢复视图空间位置的解决方案