我必须求解线性系统Tx=b，其中T是n x n对称的toeplitz矩阵。任何toeplitz矩阵都可以分解为循环矩阵U和偏斜循环矩阵V之和，即T=U+V。
这很有用，因为每个n x n实值循环矩阵C都有分解C=F*ΛF，其中F是n x n傅里叶矩阵，F *是它的共轭转置和{{1} }是C的特征值的对角矩阵。特征值可以计算为Λ=diag(λ0,λ1,...,λn-1)，其中c_k是C的第一行的第k个元素，即λj=sum{from k=0 to n-1} c_k*exp(-2*pi*i*j*k/n) (j=0,...,n-1 and i is the imaginary unit)。
此外，c=[c0,c1,...,cn-1]矩阵W被称为{ω} - 循环矩阵，如果它具有分解n x n，其中*是共轭转置符号，F是傅里叶矩阵，Λ是包含W的特征值的对角矩阵，W=Ω*F*ΛFΩ，Ω=diag{1,ω^(-1/n),ω^(-2/n),...,ω^(-(n-1)/n)}和ω=exp(i*θ)。在我们的例子中，对于U（循环），ω= 1，对于V（偏斜循环），ω= -1。
因为在我的情况下，T是对称的，所以很容易计算U和V.让θ∈[-pi,pi]成为生成T的向量，即t=(t0,t1,...,tn-1)，所以T=toeplitz(t)和{ {1}}。
我试图在matlab上以这种方式分解随机对称的toeplitz：我成功创建了U和V，验证了U + V == T;然后我计算了U的特征值（使用上面的公式）和U的分解，验证了U等于它的分解。但是在V的情况下，我计算的分解与V不同，我计算的特征值也不等于使用默认命令eig（V）计算的特征值;最后，即使使用默认命令计算的特征值，分解也不等于V，所以我在某处犯了错误，但我无法理解。
以下是我在测试中使用的代码。
U=toeplitz([t0,t1+tn-1,t2+tn-2,...,tn-1+t1])答案 0 :(得分：1)
这里有很多你可以更高效地工作（也就是说，大部分可以通过使用FFT和矩阵乘法而不是循环来代替），但是你遇到的具体问题是你和＃39;在计算V的特征值时不使用-1的根，你使用了统一的根。
你想要的是
eigV(j) = eigV(j) + v(k+1)*exp(-2*pi*1i*(2*j-1)*k/(2*n));