具有循环块的块循环矩阵的对角化

Question

让A成为具有循环块的块循环矩阵（即 BCCB矩阵）：

A = [1 2 3 4
     2 1 4 3
     3 4 1 2
     4 3 2 1]

即：

 A = [C1 C2
      C2 C1]

其中每个块（C1，C2）是circulant matrix。我已经阅读（参见here）BCCB可以通过以下等式进行对角化：A =F*·D·F其中F是二维离散傅立叶变换矩阵，F*是F和D的共轭是一个对角矩阵，其条目是A的特征值。

在MATLAB中，我使用以下代码：

(conj(dftmtx(4))/16*(fft2(A))*dftmtx(4))

但结果是：

[1 4 3 2
 2 3 4 1
 3 2 1 4
 4 1 2 3]

此处切换A的第二列和第四列。错误在哪里？

Answer 1

您的来源有点误导。使用DFT对BCCB矩阵进行对角化如下：

  

A = (FM⊗FN)*D(FM⊗FN)

其中F _N 是N点DFT矩阵，M是C _j 块的数量，N是每个块的大小（在您的示例中为M） = 2且N = 2）。 “⊗”符号表示tensor product。

另请注意F* = conj(F)T（F ^* 称为complex conjugate transpose矩阵）。在MATLAB中，它转换为F'而不是conj(F)。巧合的是，DFT matrix F为symmetric，这意味着F* = conj(F)也是如此。

我不确定你要计算什么，但是这里是A的对角化在MATLAB中是如何完成的：

M = 2; N = 2;
FF = kron(dftmtx(M), dftmtx(N)); %// Tensor product
D = FF' * A * FF / size(A, 1);   %// ' is the conjugate transpose operator

产生：

D =
    10    0    0    0
     0   -2    0    0
     0    0   -4    0
     0    0    0    0

要仅使用2-D FFT操作对A进行对角化，您可以改为：

c = reshape(A(:, 1), N, []);     %// First column of each block
X = fft2(c);
D = diag(X(:));  

或单行：

D = diag(reshape(fft2(reshape(A(:, 1), N, [])), [], 1));

所有这些都产生相同的对角矩阵D。

希望这能为你澄清事情！