我知道一般来说背包问题，没有已知的贪婪算法来解决它。但是，假设我们添加了以下约束：
•所有项目的值均等于其权重（对于所有i，w（i）= v（i））
•权重都是2的幂（对于所有w（i）存在n∈N，使得w（i）= 2 ^ n）。
现在，以下约束的背包问题可以有一个贪婪的算法，选择当前适合背包的最重的物品，直到剩下的物品都不适合。
这会起作用还是真的没有办法用贪婪的算法解决受约束的背包问题？
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通常，背包问题有两种类型，一种是您可以拿走一部分物品（例如，一袋沙子的50％），另一种是您必须拿走整个物品。后者被称为0/1背包（全有或全无），这是我相信您所指的。
第一个可以贪婪地求解，以单位为单位获取所有最大价值的物品（例如，每磅$ x），直到容量即将满为止，然后用剩余的最高价值物品的百分比按单位填充其余的价值。第二，没有您的约束，通常无法贪婪地解决。
现在查看您的约束。在回答这个问题时，我假设值是按单位而不是总计，因为这会改变算法。认为2美元的商品重2磅，8美元的商品重8磅，而2磅重的商品每磅重2美元（总计4美元），而8磅重的商品每磅重8美元（总计64美元），因此有动机购买较重的商品第一。可以通过以下方法来贪婪地解决此问题：首先取出可能最重的物品，然后再取出最重的物品，依此类推，直到袋子中不再容纳更多物品为止，这就是您所描述的算法。
之所以起作用的原因是，由于具有2的幂和假定的每磅值，因此低于可放入背包中的最大值的所有值的总和仍小于最大值。想一想，放置一个8磅重的物品（总价值= $ 64），我将失去机会放置数量为2和4磅重的物品（总价值分别为$ 4和$ 16）。无论背包的重量（等于或大于8），都不会只有2和4的组合值会高过8的贡献（如果您认为5个4磅重的商品价格为80美元，则认为重量相同的情况下，一件8磅的商品和3磅4磅的商品的价格最好为112美元）。由于最重的物品不能被其下的物品高估，因此最好选择最重的物品，这会给您一个贪婪的解决方案。