Question

编辑：现在我认为这是扫描线问题。（见底部的update2）

在这个问题中，我们给出了N个对象和M个约束。（N可以是200k，M可以是100k）。每个对象都是黑色或白色。每个约束的格式为(x, y)，表示在对象范围x..y中，只有一个白色对象;其余的都是黑色的。我们想确定可以存在的最大白色对象数，或者是否无法满足约束条件。

我观察到如果约束完全包含在另一个约束中，则内部约束将指示可以放置白色对象的位置。此外，如果在另一个中包含多个非交叉约束，则应该是不可能的，因为它违反了每个约束只能有一个白色对象的事实。该算法应该足够快，可以在2-3秒内运行。

更新：其中一个答案提到确切的封面问题;这是一个非NP完全的专门实例吗？

Update2：如果我们将每个约束更改为 begin 和 end 事件，并对这些事件进行排序，我们是否可以系统地扫描这些事件并分配白色对象？< / p>

Answer 1

你的问题可以表示为exact cover problem：约束区间形成要覆盖的集合，每个白色对象覆盖它所属的那些约束区间。那么，你的问题是找到一个白色物体的子集，它只覆盖每个约束间隔一次。

确切的覆盖问题通常是NP完全的，尽管这显然不一定意味着它们的任何特定子集。但是，仍然存在一些算法，例如Knuth's Algorithm X（由dancing links实现），可以非常有效地解决大多数此类问题。

问题的一维结构可能也允许更直接的专业解决方法。但是，算法X是用于攻击此类问题的非常好的通用工具。（例如，最快sudoku solvers通常使用类似的东西。）

Answer 2

是的，有一个（点） - 扫描算法。这个有点不优雅，但我认为它有效。

首先，扫描嵌套间隔。按排序顺序处理开始和结束事件（断路器留给您）并保留一个未知包含另一个间隔的活动间隔列表。要处理begin事件，请附加相应的间隔。要处理结束事件，请检查是否已删除相应的间隔I。如果没有，请从列表中删除I以及J之前的所有剩余时间间隔I。对于每个此类J，将两个间隔（其并集是设置差异J \ I）附加到黑色间隔列表中。

第二，扫除收缩黑暗间隔。换句话说，删除已知为黑色的对象，重新编号，并相应地调整约束。如果整个约束被涂黑，则没有解决方案。

第三，扫描以解决现在非嵌套间隔的问题。贪婪的解决方案可证明是最佳的。

示例：假设我有半开约束[0,4]，[1,3]，[2,5]。第一次扫描会产生停电[0,1]和[3,4]。第二次扫描留下约束[a，c），[a，c），[b，d）。*贪婪扫描将白色物体放置在新位置a，c，d（旧位置1,4,5）。

第二次扫描的插图：

0 1 2 3 4 5  old coordinates
[       )
  [   )
    [     )
**    **     blackouts
  a b   c d  new coordinates
[       )
  [   )
    [     )

这可以通过线扫描算法解决吗？

2 个答案: