让语言L_n具有字符集Sigma = {a_1，...，a_n}。 L_n恰好包含一些奇数次的字符。等效地，如果L_n ^ i是每个单词包含奇数a_i的语言，则L_n = L_n ^ 1 union ... union L_n ^ n。
我已经制作了一个接受L_n和2 ^ n状态的DFA的NFA。
我现在需要证明这是接受这种语言的最小DFA。我被暗示假设有一个D＆lt; 2 ^ n状态接受L_n，然后显示在Sigma ^ *中有一些字符串 u，v ，其中 u 包含 a 和奇数次数， v 包含偶数次，DFA必须在同一状态下终止。
我一直试图将2 ^ n作为一个强烈的暗示，就像考虑长度为n的所有字符串一样，但是这些字符串都是n ^ n。也许只使用字符 a，b 来考虑长度为n的所有字符串。由于有k < 2 ^ n个状态，那么这样的两个字符串必须被发送到相同的状态。此集合中被拒绝的字符串是具有偶数个 a 和 b 的字符串，但我无法知道这些的两个此类实例是否进入相同的状态，或者他们这样做了，这甚至是多么重要。
也许考虑所有字符串的选择，其中a_1发生一次或0次，a_2发生一次或0次，等等。这些中有2 ^ n个选择，因此其中一些必须进入相同的状态。这里唯一不在语言中的字符串是空字符串。我仍然被困住了。
答案 0 :(得分：1)
在任何给定的输入字符串中，a_i中的每一个都出现奇数次或偶数次。对于任何给定的字符串，都有一个最短的字符串，其符号按字典顺序排列，如果附加到给定的字符串，则会产生不在语言中的字符串。该字符串最多只有一个字母符号，按索引排序，以便使所有符号计数的奇偶校验均匀。
这意味着2 ^ n奇偶校验配置中的每一个都可以通过w.r.t区分。 Myhill-Nerode不可分辨关系;这种语言有2 ^ n个类，因此最小DFA必须有2 ^ n个状态。
我认为这基本上就是你的直觉，只是重申了明确使用Myhill-Nerode和不可区分的关系。
编辑：添加一个示例以使其更清晰。
考虑字母{a，b，c}。然后在任何字符串中，a，b和c中的每一个都出现偶数次或奇数次。考虑2 ^ 3 = 8个最短的字符串，其中符号按字典顺序排列，涵盖了每种可能的情况：
对于涵盖所有奇偶校验配置的这些最短字符串中的每一个，存在相应的最短字符串，其具有按字典顺序排序的符号，这使得连接具有偶数个所有符号。片刻的反射显示最短的字符串与表示类的最短字符串相同：对于上面的8个最短代表中的每一个，与自身连接产生的字符串具有偶数个出现的所有符号，并且可能没有短弦产生相同的效果。
就Myhill-Nerode而言，等价类[x]必须与等价类[y]不同，因为可以跟随[x]中的字符串并且不导致L中的字符串的最短字符串是x，而在[y]中可以跟随字符串并且不在L中导致字符串的最短字符串是y，并且我们已经要求x和y不同。我们可以确认我们的8个案例：
答案 1 :(得分：0)
你的想法是字符串“a_1发生一次或0次......”是好的。但是把它们视为你的字符串的结尾：
假设您已读取输入字符串且处于状态q。
你准确到达2 ^ n种不同的情况和不同的字符串集应该导致接受/拒绝。因此，状态q在每种情况下必须是不同的，因此必须至少有2 ^ n。