是否可以构造一个具有k个状态的NFA，它们识别长度为＆lt; = k的所有字符串并拒绝所有长度大于k的字符串？
答案 0 :(得分：0)
没有。证据是k上的数学归纳。
基本案例：对于k = 0，具有零状态的NFA可能甚至不是有效对象，当然也不能说是接受任何东西。编辑：可能还值得添加k = 1，因为k = 0案例是异常的。对于k = 1，状态不接受（在这种情况下接受的语言为空）或者它正在接受，在这种情况下它只识别空字符串（如果没有消耗输入的转换存在）或无限制许多字符串（如果有任何转换消耗输入）。
归纳假设：假设所有k直到并包括n，没有NFA k或更少的州接受长度不超过k的字符串，拒绝长度大于k的字符串。
归纳步骤：我们必须证明，没有k+1个或更少的NFA接受长度不超过k+1的字符串，并拒绝长度大于k+1的字符串。假设有这样的NFA。考虑一下这个NFA的接受状态。除了初始状态之外必须至少有一个，因为NFA接受有限多个字符串而不仅仅是空字符串（参见k = 1的基本情况）。此外，NFA中必须有一些状态可以达到其他一些接受状态，因为必须消耗一些输入才能到达它们。考虑通过消耗一个输入符号可以达到这些其他接受状态的状态集。考虑一个新的NFA，将其他接受状态替换为标记为接受的这组新状态。得到的NFA在不超过k个状态时接受长度不超过k的所有字符串（因为我们从一组k + 1个状态中移除了至少一个其他接受状态）。这与归纳假设相矛盾，因此不存在不超过k + 1个状态的NFA接受所有长度不超过k + 1的字符串。
答案 1 :(得分：0)
声明长度＆lt; ķ。
对于长度＆lt; = k，考虑长度为k的字符串w。沿着某条道路被接受。此路径访问k + 1个州。由于只有k个不同的状态，因此至少有一个状态被访问两次。所以路径中有一个循环。该循环可以进行任意次。因此，可以接受无限多的字符串，特别是也可以是长度超过k的字符串。