有算法来计算Lissajous图的面积吗？

Question

假设我测量了两个信号

V = V(t) and U = U(t) 

是时间周期性的，它们之间存在相位差。当在图V vs U中相互绘制时，它们形成了一个Lissajous图，我想计算它内部的区域。

是否有算法进行此类计算？

我想用Python解决这个问题。但是，非常感谢任何语言或算法的响应。

可以使用以下表达式生成V和U信号的示例：

V(t) = V0*sin(2*pi*t) ; U(t) = U0*sin(2*pi*t + delta)

图1显示V,U和t的{​​{1}}与V0=10, U0=5, t=np.arange(0.0,2.0,0.01)的图表。

图2显示了相应的Lissajous数字delta = pi/5 vs V。

这是一个更普遍问题的具体问题：如何计算用离散U数据集获得的闭合路径积分？

Answer 1

要在笛卡尔坐标系中找到（闭合）参数曲线的区域，可以使用格林定理（4-th formula here）

A = 1/2 * Abs(Integral[t=0..t=period] {(V(t) * U'(t) - V'(t) * U(t))dt})

但请记住，解释 - 自相交曲线下的实际区域 - 是不明确的，正如@algrid在评论中注意到的那样

Answer 2

对于通常的Lissajous形状的最外面的曲线区域，我会尝试这个：

1. 找到信号期

   所以找T这样：

   U(t) = U(t+T)
   V(t) = V(t+T)
   

2. t=<0,T>

   上的示例数据

   我会使用极坐标系，其中心等于间隔U,V上的平均t=<0,T>坐标，并将其称为U0,V0。将数据转换并存储在极坐标中，以便：

   a(t)=atan2( V(t)-V0 , U(t)-U0 )
   r(t)=sqrt( (U(t)-U0)^2 + (V(t)-V0)^2 )
   

   并且只记住每个角度位置的最大半径点。这可以通过计算与重叠段的折线交叉来使用阵列（限制角度精度）或几何形状来完成。并删除内部零件。

3. 从采样数据中计算区域

   因此，通过对覆盖整个圆的每个角度位置的饼图三角形求和来计算面积。

这可能不适用于异国情调的形状。

Answer 3

以上两种解决方案 - @ MBo和@Spektre（以及评论中的@meowgoesthedog） - 都运行正常。谢谢你们。

但我找到另一种方法来计算椭圆 Lissajous曲线的区域A：使用A = Pi*a*b公式（a和b分别是椭圆的主要和次要半轴。

步骤：

1 - 查找T（或V）信号的句点U;

2 - 在时间间隔0<t<T中：

2.a - 计算V和U（V0和U0）的平均值，以确定椭圆的中心;

2.b - 使用以下方式计算距离r(t)，V0的距离U0：

r(t)=sqrt( (U(t)-U0)^2 + (V(t)-V0)^2 )

3 - 使用以下方式查找a和b值

a = max(r(t)); b = min(r(t))

4 - 计算A：A = Pi*a*b

如果U，V信号是正弦曲线并具有相同的频率，则Lissajous曲线将始终为椭圆曲线。

抓住机会，我将针对V，U信号为三角形并具有相同频率的情况提出解决方案。在这种情况下，Lissajous曲线将是平行四边形，然后可以使用A计算其面积A = 2*|D|*|d|*sin(q)，其中|D|和|d|分别是主要长度平行四边形的小和半对角线和q是矢量D和d之间的角度。

对椭圆形情况重复步骤1和2.

在第3步中，我们将：

|D| = max(r(t)) = r(t1); |d| = min(r(t)) = r(t2)

4＆＃39; - 获取t1和t2并使用它们来获取坐标（V(t1)=V1，U(t1)=U1）和（V(t2)=V2，U(t2)=U2）。然后，向量D和d可以写为：

D=(V1,U1)-(V0,U0); d=(V2,U2)-(V0,U0)

5＆＃39; - 计算q和D之间的角度d;

6＆＃39; - 执行A：A = 2*|D|*|d|*sin(q)

的计算