计算相交矩形的周长和面积？

Question

我搜索了很多，但我没有找到适合这种情况的好答案。 我们有一些水平或垂直的矩形。它们可以随机放在页面上。它们可以重叠或具有共同边缘或彼此分开。 我想找到一个带有O（nlogn）的算法，它可以找到这些矩形的周长和面积。 这些图片可能会使问题变得清晰。

我认为间隔树可能有所帮助，但我不确定如何。

Answer 1

可以通过扫描线算法完成。

我们将从左到右扫描一条假想线。 我们会注意到直线和矩形集之间的交点表示一组间隔的方式，当我们遇到矩形的左边或右边时它会发生变化。

假设交点在x坐标 x1 和 x2 之间没有变化。 然后，如果 x1 之后的交点长度为 L ，则该线将扫过等于（ x2 - x1的区域）* L ，从 x1 扫描到 x2 。

例如，您可以将 x1 视为左侧蓝线，将 x1 视为下图中的右侧蓝线（我从您那里偷走并修改一点点 ：））：

应该清楚的是，我们的扫描线的交点在这些点之间没有变化。然而，蓝色交叉点与红色交叉点完全不同。

我们需要一个包含这些操作的数据结构：

insert_interval(y1, y2); 
get_total_length(); 

使用分段树可以很容易地实现这些功能，所以我现在不会详细介绍。

现在，算法将如下所示：

1. 获取所有垂直线段并按x坐标对其进行排序。
2. 对于每个相关的x坐标（仅显示为矩形边缘的那些坐标很重要）：
   • 设x1为先前的相关x坐标。
   • 设x2为当前相关的x坐标。
   • 设L是我们的数据结构给出的长度。
   • 将（x2 - x1）* L添加到总面积总和中。
   • 从数据结构中删除x = x2段的所有右边。
   • 将x = x2段的所有左边添加到数据结构中。

通过左和右我的意思是矩形的边。

这个想法仅用于计算区域，但是，您可以修改它以计算周长。基本上你会想知道交叉点在某个x坐标处变化之前和之后的长度之间的差异。

算法的复杂性为O（N log N）（尽管它取决于您可能获得的值的范围，这很容易处理）。

您可以在TopCoder上找到有关扫描线算法这一广泛主题的更多信息。

您可以在PEG judge wiki上阅读有关使用细分树的各种方法。

这是我（非常古老）算法的实现，作为SPOJ problem NKMARS：implementation的解决方案。

Answer 2

以下是O（N2）溶液。

int area = 0;
FOR(triange=0->N)
{
    Area = area trianlges[triangle];
    FOR(int j = triangle+1 -> N)
    {
        area-= inter(triangle , j)
    }
}
return area;

int inter(tri a,tri b)
{
    if ( ( min(a.highY ,b.highY) > max(a.lowerY, b.lowerY) ) && ( min(a.highX ,b.highX) > max(a.lowerX, b.lowerX) ) )
    return ( min(a.highY ,b.highY) - max(a.lowerY, b.lowerY) ) * ( min(a.highX ,b.highX) - max(a.lowerX, b.lowerX) )

    else return 0;
}