Question

我正在编写一个函数来测试矩形与超椭圆的交集。矩形将始终是轴对齐的，而超椭圆可以以旋转角α定向。

在轴对齐的矩形与轴对齐的超椭圆相交的情况下，我已经编写了这两个可以很好地工作的短函数。代码简洁，清晰，高效。如果可能的话，我想为新的更通用的功能保留类似的结构。

以下是我检测轴对齐矩形是否与轴对齐的超椭圆相交的原因：

double fclamp(double x, double min, double max)
{
    if (x <= min) return min;
    if (x >= max) return max;
    return x;
}

bool rect_intersects_superellipse(const t_rect *rect, double cx, double cy, double rx, double ry, double exponent)
{
    t_pt closest;
    closest.x = fclamp(cx, rect->x, rect->x + rect->width);
    closest.y = fclamp(cy, rect->y, rect->y + rect->height);
    return point_inside_superellipse(&closest, cx, cy, rx, ry, exponent);
}

bool point_inside_superellipse(const t_pt *pt, double cx, double cy, double rx, double ry, double exponent)
{
    double dx = fabs(pt->x - cx);
    double dy = fabs(pt->y - cy);

    double dxp = pow(dx, exponent);
    double dyp = pow(dy, exponent);

    double rxp = pow(rx, exponent);
    double ryp = pow(ry, exponent);

    return (dxp * ryp + dyp * rxp) <= (rxp * ryp);
}

这是正常的，但正如我所说的那样 - 仅适用于轴对齐的超椭圆。

现在我想将它推广到一个定向的超椭圆，使算法结构尽可能接近上面。之前两个函数的明显扩展将变成类似：

bool rect_intersects_oriented_superellipse(const t_rect *rect, double cx, double cy, double rx, double ry, double exponent, double radians)
{
    t_pt closest;
    closest.x = fclamp(cx, rect->x, rect->x + rect->width);
    closest.y = fclamp(cy, rect->y, rect->y + rect->height);
    return point_inside_oriented_superellipse(&closest, cx, cy, rx, ry, exponent, radians);
}

bool point_inside_oriented_superellipse(const t_pt *pt, double cx, double cy, double rx, double ry, double exponent, double radians)
{
    double dx = pt->x - cx;
    double dy = pt->y - cy;

    if (radians) {

        double c = cos(radians);
        double s = sin(radians);

        double new_x = dx * c - dy * s;
        double new_y = dx * s + dy * c;

        dx = new_x;
        dy = new_y;
    }
    double dxp = pow(fabs(dx), exponent);
    double dyp = pow(fabs(dy), exponent);

    double rxp = pow(rx, exponent);
    double ryp = pow(ry, exponent);

    return (dxp * ryp + dyp * rxp) < (rxp * ryp);
}

对于定向超椭圆，即使point_inside_oriented_superellipse()本身按预期工作，上述操作也无法正常工作。我无法使用上述函数来测试具有轴对齐矩形的交点。我已经在网上进行了大约一周的研究，我发现了一些需要逆矩阵变换来均衡超椭圆轴并使其原点为（0,0）的解决方案。权衡是现在我的矩形不再是一个矩形，当然也不是轴对齐的。我想避免走那条路。我的问题是展示如何使上述算法保持其结构或多或少不变。如果不可能保持相同的算法结构，请显示最简单，最有效的算法来测试轴对齐矩形和定向超椭圆之间的交集。我只需要知道交叉是否发生（布尔结果）。指数参数的范围可以在0.25到100.0之间变化。

感谢您的帮助。

Answer 1

看看source中的第2点。简单来说，您需要进行以下测试：

<强> 1。椭圆中是否有任何矩形顶点？

<强> 2。矩形边是否与椭圆相交？

第3。椭圆的中心是否在矩形内？

如果上面的任何问题都可以用是来回答，那么椭圆和矩形会相互交叉，所以，你的函数应该返回如下内容：

return areVertexesInsideEllipse(/*params*/) || areRectangleEdgesIntersectingEllipse(/*params*/) || isEllipseCenterInsideRectangle(/*params*/);

该文档甚至还有一个实现示例，它与您的实现相当接近。

要检查任何顶点是否在椭圆内，您可以根据椭圆的不等式计算它们的坐标。要检查边缘是否与椭圆重叠，您需要检查其线是否穿过椭圆或触摸它。如果是这样，您将需要检查线穿过椭圆或触摸它的线是否与边缘定义的线相交。要检查椭圆的中心是否在矩形内，您需要根据矩形的不等式检查中心。

请注意，这些是非常通用的术语，它们甚至不假设您的矩形是面向轴的，而是单独的椭圆。

Answer 2

首先，你应该使用分离轴定理排除明显的非交叉情况 - 超椭圆可能有两个边界框（指数n> 1的情况）和n <= 1的情况。

在SAT中，将边界框ABCD中的所有顶点与超椭圆的BB（abcd）中的所有（定向）边进行比较;然后反之亦然。如果到分离轴的有符号距离都是正的（即外部），则物体不会发生碰撞。

          b
       a  
   A------B
   |      |     d
   |      |  c
   C------D

指数n == 1进一步划分情况 - n <= 1使得超椭圆体凹陷，在这种情况下，如果一个或多个点在超椭圆体内，则ABCD仅与abcd相交。当n> 1时，必须求解AABB中的线段与超椭球的交点，其可能必须由样条近似或必须找到另一个代理。毕竟，实际交叉点并不重要，但将方程式设置为wolfram alpha无法在标准执行时间内产生任何结果。

检测轴对齐矩形与定向超椭圆之间交点的算法

2 个答案: