Question

我试图在Haskell中实现教会数字。这是我的代码：

-- Church numerals in Haskell.
type Numeral a = (a -> a) -> (a -> a)

churchSucc :: Numeral a -> Numeral a
churchSucc n f = \x -> f (n f x)

-- Operations with Church numerals.
sum :: Numeral a -> Numeral a -> Numeral a
sum m n = m . churchSucc n

mult :: Numeral a -> Numeral a -> Numeral a
mult n m = n . m

-- Here comes the first problem
-- exp :: Numeral a -> Numeral a -> Numeral a
exp n m = m n

-- Convenience function to "numerify" a Church numeral.
add1 :: Integer -> Integer
add1 = (1 +)

numerify :: Numeral Integer -> Integer
numerify n = n add1 0

-- Here comes the second problem
toNumeral :: Integer -> Numeral Integer
toNumeral 0 = zero
toNumeral (x + 1) = churchSucc (toNumeral x)

我的问题来自取幂。如果我声明toNumeral和exp的类型签名，则代码不会编译。但是，如果我评论类型签名声明，一切正常。 toNumeral和exp的正确声明是什么？

Answer 1

无法按照您的方式编写exp的原因是它涉及将Numeral作为参数传递给Numeral。这需要Numeral (a -> a)，但您只有Numeral a。你可以把它写成

exp :: Numeral a -> Numeral (a -> a) -> Numeral a
exp n m = m n

除了toNumeral之类的模式不应该使用之外，x + 1我没有看到什么问题。

toNumeral :: Integer -> Numeral a -- No need to restrict it to Integer
toNumeral 0 = \f v -> v
toNumeral x
  | x > 0 = churchSucc $ toNumeral $ x - 1
  | otherwise = error "negative argument"

此外，您的sum也有问题，因为m . churchSucc n是m * (n + 1)，所以它应该是：

sum :: Numeral a -> Numeral a -> Numeral a
sum m n f x = m f $ n f x -- Repeat f, n times on x, and then m more times.

但是，教堂数字是适用于所有类型的函数。也就是说，Numeral String不应与Numeral Integer不同，因为Numeral不应该关心它正在处理什么类型。这是通用量化：Numeral是一个函数，适用于所有类型a，(a -> a) -> (a -> a)，使用RankNTypes编写为{ {1}}。

这是有道理的：教会数字由其重复的函数参数的次数来定义。 type Numeral = forall a. (a -> a) -> (a -> a)调用\f v -> v 0次，因此它为0，f为1，等等。强制\f v -> f v适用于所有Numeral，确保它可以仅这样做。但是，允许a关注哪种类型Numeral和f已删除限制，并允许您编写v，即使这显然不是{{1} }}

我会把它写成

(\f v -> "nope") :: Numeral String

相反，它看起来更干净，并且不太可能遇到障碍而不是原始障碍。

演示：

Numeral

使用教会数字

1 个答案: