Question

我有一组使用以下公式生成的数字，其中整数0＆lt; x＆lt;一个。

f(x) = f(x-1)^2 % a

例如从2开始，a = 649。

{2, 4, 16, 256, 636, 169, 5, 25, 649, 576, 137, ...}

我追随这些数字的一个子集，当它们相乘时等于1 mod N。

我认为这个问题本身就是NP完全的（基于Subset-Sum问题的相似之处）。

但是从任何整数（x）开始都会给出相同的解决方案模式。

EG。 a = 649

{2,4> 16 ，256,636,169， 5 ，25,649， 576 ，137，... } = 16 * 5 * 576 = 1％649
{3,9， 81 ，71,498,86， 257 ，500,135， 53 ，213，...} = 81 * 257 * 53 = 1％649
{4,16， 256 ，636,169,5， 25 ，649,576， 137 ，597，...} = 256 * 25 * 137 = 1％649

我想知道这个额外的事实是否能让这个问题更快解决？或者，如果有人以前遇到过这个问题或有任何建议吗？

Answer 1

所以f(x) = g^(2^x) % a，g=f(0)。您可以使用欧拉定理找到一些f(x)乘以一起得到1. Euler's theorem个状态g^Phi(a) % a = 1（Phi(a) = Euler's totient function =＃of integers {{ 1}}是< a的相对素数。因此，您只需要计算a，然后将其分解为其位表示，并选择适当的Phi(a)来设置加在一起的位以生成x。

也许一个例子会更清楚。设Phi(a)，然后a = 54。然后是Phi(a) = 18，所以18 = 2^4 + 2^1 mod f(4) * f(1) = g^(2^4+2^1) = g^18 = 1。

所有这一切都很简单，但您需要计算a。这一般很难（相当于因子Phi(a)），但是，例如，如果你知道a是素数，那就很容易了。

请注意，此解决方案不依赖于a的值，除了g = f(0)和g是相对素数的事实（如果它们不是，那么就没有'任何解决方案）。

在你的情况下，a，所以你将f（2），f（6）和f（9）相乘。

Answer 2

子集产品问题也证明了NP完整，并且与此更加相似： http://www.wolframalpha.com/entities/famous_math_problems/subset_product_problem/oa/xp/7d/

子集和实际上可在伪多项式时间O（nC）中求解，其中C =总“权重”（例如649）。我不知道子集产品是否有类似的东西。

子集产品的复杂性

2 个答案: