如何使用FFT实际实现多项式乘法？

Question

我一直在算法教科书中研究这个主题。

巧妙地使用复杂的统一根源似乎在数学上有效。但是，我不明白人们如何在计算机中真正代表这一点。

我可以想到两件事：

• 使用实/虚分解来表示复数。但这意味着使用浮点数，这意味着我将算法打开为数值误差，即使我想要乘法，我也会失去精度两个具有整数系数的多项式。
• 将exp（i 2pi / n）表示为n 。所以，我最终会得到一个omega中的元组，如果我必须保持这种形式，我基本上会再次在omega中进行多项式乘法，将我们带回原点。

我真的很想用熟悉的编程语言来看这个算法的实现。

Answer 1

确实如你所知，统一的根源通常不是很好的数字，可以很好地存储在计算机中。由于数值误差很小，如果您知道输出应该是整数，则舍入通常会产生正确的结果。

如果你不想（或不能）依赖它，一个确切的选项是数理论变换。它用有限域中的单位根代替复平面中的统一根.ℤ/pℤ其中p是一个合适的素数。 p必须足够大才能存在所有必要的根，并且效率受p的性质影响。如果你选择一个费马素数，那么统一的根就有了方便的形式，并且有一个技巧可以比平时更有效地减少模数p。这是所有精确的整数运算，并且值保持很小，因此在计算机中实现它没有问题。

该技术用于Schönhage-Strassen算法，因此您可以在那里查找具体信息。