Question

我有一组描述复杂平面中闭合曲线的点，称之为Z = [z_1, ..., z_N]。我想插入这条曲线，因为它是周期性的，三角插值似乎是一个自然的选择（特别是因为它的准确性提高）。通过执行FFT，我们得到傅立叶系数：

F = fft(Z);

此时，我们可以通过公式得到Z（其中1i是虚数单位，我们使用(k-1)*(n-1)，因为MATLAB索引从1开始）

                 N
   Z(n) = (1/N) sum  F(k)*exp( 1i*2*pi*(k-1)*(n-1)/N), 1 <= n <= N.
                k=1

我的问题

n必须是整数有什么理由吗？据推测，如果我们将n视为1到N之间的任何实数，我们将在插值曲线上得到更多的点。 这是真的吗？例如，如果我们想要将点数加倍，我们是否可以设置

                 N
   Z_new(n) =  (1/N) sum  F(k)*exp( 1i*2*pi*(k-1)*(n-1)/N), with n = 1, 1.5, 2, 2.5, ..., N-1, N-0.5, N
                k=1

新点当然只是受到一些插值误差的影响，但它们会相当准确，对吧？ 我问这个问题的原因是因为这种方法对我不起作用。当我尝试这样做的时候，我会得到一堆乱七八糟的点。

（顺便说一句，我知道我可以使用interpft()命令，但我只想在曲线的某些区域添加点，例如z_a和{{1之间}}）

Answer 1

关键是当n为整数时，您有一些正交的主要函数，可以作为空间的基础。当n不是整数时，公式中的指数函数不是正交的。因此，基于这些非正交基的函数的表达与您预期的一样没有意义。

对于正交性情况，您可以看到以下示例（来自here）。您可以检查，您可以找到两个不是整数的n_1和n_2，以下积分不再为零，并且它们不是正交的。