O（n ^ 3）真的比O（2 ^ n）更有效吗？

Question

我的算法类的作业声称O（n ³ ）比O（2 ⁿ ）更有效。

当我将这些函数放入图形计算器时，对于非常大的n（从n = 982左右开始），f（x）= 2 ^x 似乎始终更有效。

考虑到对于函数f（n）= O（g（n）），对于大于某些n ₀ 的所有n，它必须更小，这不意味着从n = 982我们可以说O（2 ⁿ ）效率更高？

Answer 1

2^n的增长速度比n^3快得多。也许你已经在计算器中输入了错误的值或类似的东西。另请注意，效率更高意味着更短的时间，这意味着y-axis上的更低的值。

让我向您展示一些正确的图表（使用Wolfram Alpha）：

首先 2^n 更小（但只是一个小范围），之后你可以看到{{1>超越它。

在此交叉点之后，情况永远不会再次发生变化，2^n仍然非常大于2^n。这也适用于您分析的范围，因此＆gt; 982 ，如下图所示（n^3的情节靠近n^3）：

另请注意，在 Big-O-Notation 中，我们总是根据功能的增长来比较功能。这就是为什么像x-axis这样的东西不包含函数O(n^3)而是f : f(x) <= n^3，其中f : f(x) <= C * n^3是一个任意常量，它可能很大，可能很小。这说明了比较中的增长因子。还要注意，允许条件不适用于有限数量的C但是条件必须存在一些绑定x，因此对于每个x'。< / p>

将此解释与Wikipedia的完整数学定义进行比较，其中x > x'为C，k为x且n为{{ 1}}：

如果设置为x'，则n_0定义为f(n)。

Answer 2

你混淆O（2 ⁿ ）和2 ⁿ 。 O（2 ⁿ ）实际上是C * 2 ⁿ ，其中C是任意选择的正常数。同样，O（n ³ ）是D * n ³ ，其中D是另一个任意选择的正常数。声明＆＃34; O（n ³ ）比O（2 ⁿ ）＆＃34;更有效。意味着，给定任何固定的C和D，总是可以找到这样的n ₀ ，对于任何n> = n ₀ ，D * n ³  ＆LT; C * 2 ^名词