快速应答子阵查询的有效算法

Question

前几天我遇到了与查询相关的问题，但我无法解决。

给定具有 N 整数和正整数 M 的数组，您必须回答 Q 查询。每个查询的特征为（ i ， j ），其中 i 和 j 是数组的每个索引。在每个查询中，您必须回答存在多少对（ r ， s ），以便

1. i ＆lt; = r ＆lt; = s ＆lt; = j
2. [ r ， s ]中索引的数组元素之和可被M整除。

限制：

N <= 50,000
Q <= 50,000
M <= 100

我有一个动态编程解决方案，可以预处理O（ N ^ 2）中的每个查询（ r ， s ），但这是不够快。有更有效的解决方案吗？我对Mo的算法或段树有一些想法，但我无法得到它。

Answer 1

1. 计算每个i = 1..N的原始数组的前缀总和（假设它基于1）。
   
   任何两个索引Sum[r]和Sum[s]的{​​{1}}和r的等效性，其中s表示索引位于{{1}的数组元素的总和可以被r < s整除（我们需要计算区间内这种等价的数量）。此步骤的时间复杂度为[r+1, s]。
   
   

2. 为每个M预先计算数组O(N)：
   Count存储i = 1..N, j = 0..M-1（Count[i][j]）等于Sum[len]的次数。此步骤的时间复杂度为len <= i。
   
   

3. 对于每个查询j，答案将等于：
   对于余数O(N*M)的每个可能值，我们找到(i, j) - k在D(k)区间内等于Sum[len]的次数。然后，我们向结果中添加k个[i, j]区间边界的所有可能对的数量D(k)。时间复杂度：每个查询D(k)*(D(k)-1)/2。
   
   

复杂性：O(M)，对于给定的约束条件就可以了。

Answer 2

首先请注意，对于任何总和为(r, s)倍数的子阵列M：

sum(r, s) == sum(i, s) - sum(i, r - 1)

          == (qa * M + ra) - (qb * M + rb)

其中ra和rb都小于M且大于或等于0（即除以后的相应余​​数M）。

现在sum(r, s)可以被M整除，因此在除以0之后，其余为M。因此：

ra == rb

如果我们在将子数组(i, i)，(i, i + 1)，...，(i, j)除以M作为r1之后，将所有余数计算出来，{ {1}}，...，r2然后将所有这些的计数存储在大小为rj的数组R中，以便M为剩余数量等于R[k]，然后：

k

并且对于每个R[0] == the number of subarrays starting at i that are divisible by M 和k >= 0，k < M我们可以计算R[k] > 1选择R[k]：

2

不从(R[k] * (R[k] - 1)) / 2 开始且可被{​​{1}}整除的子阵列。

创建和求和所有这些值为我们提供了每个i查询的O（N + M）答案。