访问完整有向图中所有节点的最短路径

Question

注意：这几乎与此问题相同：Shortest path to visit all nodes

但我有完整的图表。

问题：考虑具有非负边长的完整无向图。问题：计算访问每个节点至少一次的最短路径。

注意： 这不是TSP问题。路径没有结束节点，路径可以多次通过节点。

其他说明：

节点数量很少（小于20）。

Answer 1

问题仍然是NP完全（对于决策变体），从Hamiltonian Path Problem减少。

鉴于哈密尔顿路径问题实例G=(V,E)，请使用G'=(V, E', w)和路径长度|V| - 1将其减少为您的问题。

其中：

E' = VxV
w(u,v) = 1  if (u,v) is in E
w(u,v) = 2  otherwise

• 如果G中有哈密尔顿路径，则G'中的路径费用为|V| - 1。
• 如果G'中的路径费用为|V| - 1，那么按照G中的这些边缘，我们会获得汉密尔顿主义广告。

因此，上面是从哈密顿路径问题到这个TSP变量的多项式简化，并且由于哈密顿路径问题是NP-Hard，所以这个问题也是如此。

Answer 2

权利要求

允许重新访问节点不会使问题变得更加容易。

说明

假设我们希望在图G中找到Hamiltonian path。我们可以通过将G的边缘的边权重设置为1，将边缘权重设置为10来将其转换为问题的实例-G。

我们现在有一个带有非负边的完整图H。

当且仅当我们发现H中的最短路径长度为n-1时，图G才具有哈密顿路径。

建议

因此，您修改的问题是NP难的，因此您似乎不可能只是简单地采用标准TSP技术（例如Held-Karp algorithm）来解决它。