考虑这段代码，
function isPrime(n):
for i from 2 to n - 1:
if (n mod i) = 0, return false
return true
该内循环运行O（n）次并且每次执行一些计算n mod i的工作（作为非常保守的上限，这当然可以在时间O（n ^ 3）中完成）。因此，这个整体算法在时间O（n ^ 4）运行，可能更快。
我们的算法在时间O（n ^ 4）运行，但这是输入位数的函数？好吧，写出数字n需要O（log n）位。因此，如果我们让x是写出输入n所需的位数，则该算法的运行时间实际上是O（2 ^（4x）），这不是x中的多项式。
我的问题是
要以位为单位写入数字n，必须使用log n位（Base 10）。因此，如果我们让x为位数，则实际运行时间必须为O（10 ^（4x））。这与O（2 ^（4x））完全不同。我们怎么能承受这样的近似？
答案 0 :(得分：4)
对数基数之间的转换相当于乘以某个常数。常数乘法不会影响大O复杂度类。所以对数基数对分析没有影响。
但是，你问题中的例子并不是关于对数的。这是相反的，因为它是关于指数表达式。但我并不完全理解这个例子，因为短语“它必须记录n位（基数为10）”对我来说没有意义。数字n实际上有大约log n (base 2)位，而不是基数10，正如你断言的那样。
答案 1 :(得分：2)
您的函数要么采用n的base-2表示，要么采用base-10表示，而不是两者。在第一种情况下，输入大小明确x = log_2(n)，而后者则无可争议x = log_10(n)。如果您的算法花费的时间与n^4成比例（例如），那么第一台机器会O((2^x)^4 = O(2^(4x))，而后者需要O((10^x)^4) = O(10^(4x))。实际上，10^(4x)渐近地增长得比2^(4x)快得多，因为可以很容易地验证。
这通常被视为一个问题，因为假定机器模型对于给定的分析保持不变。很容易证明，改变机器模型可以改变很多关于复杂性的东西;例如，已知在单机带确定性图灵机中，检测回文在RAM机器中的线性时间和二次时间。
更重要的是给定模型中的一致性。并且，只要您保持在给定模型（机器是二进制或十进制）内，就不用担心。
＆＃34;但是等等＆＃34;，你说，＆＃34;我可以在一台机器上传入编码输入的字符串作为二进制或十进制！＆＃34;这是真的。然而，在这种情况下，采用基数2表示并且需要O（n）的算法实际上比采用O（n）的十进制更快（作为输入的函数）。为什么？因为n是每种情况下输入大小的指数函数，2是小于10的基数。因此在这种情况下它确实告诉我们有用的信息（但请注意，我们在这里没有采用任何对数，刚做完指数）。
实际上，您正在将对数与指数混淆，因为两者都参与分析函数的运行时。对数的基数是可以互换的，但指数的基数不是。
答案 2 :(得分：0)
除非你使用任意大数字（因此是bignum库），否则整数适合寄存器并由CPU指令直接详细说明，这些指令需要一段时间来执行 1 ，无论＆＃34的数量是多少;关于＆＃34;输入中的位。因此，内循环中的模运算是O（1）。
另一方面，如果n没有确实有边界，我们当然不能再说mod是O（1）。
现在，即使我们想象算法是数字位数的多项式，但你选择的基数并不重要：说mod是O（d ^ a）其中d是n的小数位数（即d = log10（n））;不同基数中的对数仅仅乘以乘法因子，因此我们得到log10（n）= k log2（n），因此O（（log10（n））^ a）= O（k ^ a（log2（n））^ a）= O（（log2（n））^ a）因为大符号并不对乘法常数感兴趣，所以你会发现它真的是一样的。