检测线是否与凸多边形相交的O（n）算法在于检查多边形的任何边是否与线相交，并查看交点的数量是奇数还是偶数。
是否存在渐近更快的算法，例如一个O（log n）一个？
答案 0 :(得分：17)
lhf的答案接近正确。这是一个应该解决他的问题的版本。
让多边形以逆时针顺序具有顶点v0，v1，...，vn。让点x0和x1在线上。
注意两件事：首先，找到两条线的交点（并确定它的存在）可以在恒定时间内完成。其次，确定一个点是否在一条线的左侧或右侧可以在恒定的时间内完成。
我们将遵循lhf的相同基本思想来获得O（log n）算法。基本情况是多边形有2或3个顶点。这些都可以在恒定的时间内处理。
确定线（v0，v（n / 2））是否与线（x0，x1）相交。
案例1：它们不相交。
在这种情况下，我们感兴趣的线要么是分割多边形的线的左边还是右边，所以我们可以递归到多边形的那一半。具体来说，如果x0在（v0，v（n / 2））的左边，那么右半部分中的所有顶点，{v0，v1，... v（n / 2）}都在同一侧of（x0，x1）所以我们知道多边形的“一半”没有交集。
案例2：它们相交。
这种情况有点棘手，但我们仍然可以在恒定时间内将交点缩小到多边形的一半。有3个子类：
案例2.1：交点介于点v0和v（n / 2）之间
我们完成了。该线与多边形相交。
案例2.2：交点更接近v0（即v0侧多边形外）
确定线（x0，x1）是否与线（v0，v1）相交。
如果没有，那么我们就完成了，这条线不会与多边形相交。
如果是，请找到交叉点，p。如果p在行的右边（v0，v（n / 2）），则递归到多边形的右半部分{v0，v1，...，v（n / 2）}，否则递归向左“半”{v0，v（n / 2），... vn}。
在这种情况下的基本思想是多边形中的所有点都在线的一侧（v0，v1）。如果（x0，x1）在与（v0，v（n / 2））的交叉点的一侧偏离（v0，v1）。我们知道在那一侧不能与多边形交叉。
案例2.3：交叉点更靠近v（n / 2）
此案例与案例2.2类似，但使用适当的v（n / 2）邻居。
我们完成了。对于每个级别，这需要两个线交叉点，左右检查，以及确定点在一条线上的位置。每次递归将顶点数除以2（技术上将它们除以至少4/3）。所以我们得到一个O（log n）的运行时。
答案 1 :(得分：3)
我认为this article给出了明确的O（log n）解决方案。找到与给定直线垂直的方向的极值。
答案 2 :(得分：2)
边界框可能有用。
回想一下，仿射空间的凸部是其所有包络超平面的交点：通过仅考虑包络超平面的子集的交点，可以得到多边形的近似值（读取“边界凸多边形”） ，测试你的线与此近似值的交点，并在必要时进行细化。
如果您期望交叉路口数量较少，所有这些效果会更好。
答案 3 :(得分：1)
您只需找到位于线左侧的A点和右侧的另一个点。剩下的问题是如何快速找到这些要点。
答案 4 :(得分：0)
从凸poligon中随机取两个A点和B点。
如果那两个最远的点位于你的线的不同侧，则线与poligon相交，否则它不会
顺便说一下，你也可以在O（log n）中找到实际的交叉点。