线段与凸多边形的交点

Question

寻找O（logn）算法来识别与扩展线段相交的凸多边形的线段。众所周知，线段完全位于凸多边形内部 例： 输入：ab / 线段 /，{1,2,3,4,5,6} / CCW顺序的凸多边形顶点及其坐标 /
输出：3-4,5-6

这可以通过获取所有线的方程并检查它们是否相交但是将是O（n）来完成，因为需要检查n条线以进行交叉。我认为应该可以使用二进制搜索（因为登录界限）来降低复杂性，但我无法理解应用它的内容。

Answer 1

首先，您需要使用定向多边形边并将它们存储在一个数组中（或者可以在另一个数据结构中，这允许直接访问时间复杂度不超过 O（logN） ）。链表不利于这个问题。

此外，您需要为您的扩展段指定方向 - 让我们说它从A到B的方向。然后它将平面划分为两个半平面 - 左和右。您可以选择初始边（顶点为0和1），然后选择中间边（顶点为[n / 2] -1和[n / 2]）。有两种情况 - 初始边缘与扩展段相交或不相交。我会在这里考虑第一个案例，将第二个案例留给你。此外，我假设初始边缘完全位于右半平面（左平面情况是对称的）。中间边缘将多边形划分为两个边缘路径 - 我将其称为 第一个 一个（顶点从0到[n / 2]）和 第二个 一个（从[n / 2]到0的顶点）。

可能有五种情况 - 中间边缘可以：

1. 完全位于右半球（与初始边缘相同），跟随初始边缘 - 然后递归分析第二条路径。
2. 完全位于右侧背板（与初始边缘相同），位于初始边缘 - 然后您递归分析第一条路径。
3. 完全位于左半平面（不是初始边缘的那个） - 然后你必须递归分析两个路径。
4. 将从右半平面到左半平面的扩展段相交 - 找到一个交点，然后递归分析第二条路径。
5. 将从左半平面到右半平面的扩展段相交 - 找到一个交点，然后递归分析第一条路径。

所以 - 最“不方便”的情况是（2） - 在这种情况下你不能删除任何路径，但看起来它不能重复整个多边形。

此外，您还必须计算定向多边形边缘之间的关系 - “跟随/先行”。可以使用相对边缘角度来完成 - “跟随”边缘必须相对于“前”边缘向左转（因为凸起）。