如何测试线是否与凸多边形相交？

Question

假设给出了一条线的等式（在2d中），以及形成凸多边形的线的方程（多边形可以是无界的）。如何确定线是否与多边形相交？

此外，是否存在预先定义此类任务的计算几何库？我问，因为我不仅对2D版本感兴趣，而且对n维几何感兴趣。

Answer 1

对于2D情况，我认为这个问题有点简化。

该线将空间划分为两个区域。

如果多边形仅存在于其中一个区域中，则该线不与其相交。

如果两个区域中都存在多边形，则该线与它相交。

所以：

  

垂直于线，与线相交   划出原点。

     

将多面体的每个顶点投影到垂直线上。

     

如果这些投影同时出现两个符号，那么多边形   与该线相交。

[更新以下elexhobby的评论。]

忘记包括处理无界案件。

我想添加一个可以创建一个“虚拟顶点”来表示开放区域。我们真正需要的是开放区域的“方向”。我们可以将其作为开放区域边界的矢量平均值。

然后我们用法线处理该方向的点积，并将其添加到顶点投影集合中。

Answer 2

在几何中，通常see wikipedia多边形是有界的。 您所描述的通常称为多面体或多面体see wikipedia

有几个可用的几何库，我想到的有两个是boost（多边形）和CGAL。一般来说，处理2d，3d和N-d的计算方法之间有明显的区别 - 原因很明显。

对于你的问题，我会使用一些二进制空间分区树方法。我会把你＆＃34; poly＆＃34;的第一行并根据它修剪查询行，创建一条光线。光线将从两条线的交点开始，并沿着＆＃34; poly＆＃34;的第一条线产生的半空间内部的方向前进。现在我将用光线和＆＃34; poly＆＃34;重复这个过程。 （这可能会生成一个段而不是光线）如果在某个点上光线（或现在的线段）原点位于当前考虑的多边形线的外侧并且不与它相交，则答案为否 - 线不相交你的＆＃34; poly＆＃34;。否则它会相交。特别注意各种平行边缘情况。相当直接，适用于多维案例。

Answer 3

我不完全确定，但我想你可以通过使用二元性来解决这个问题。首先将线方程标准化为a.x+b.y=1，并考虑点集(a,b)。

这些必须形成一个凸多边形，我的猜测是新线可能与多边形内的一个点不对应。通过验证新点位于所有边的同一侧，可以很容易地检查这一点。 （如果你不知道线的顺序，首先要构造凸包。）

Answer 4

让我们从有限多边形开始。

要与多边形相交，一条线必须与其一条边相交。只有当两个点位于线的不同侧时，才能实现线与边之间的交叉。

可以使用sign(cross_product(Ep-Lp,Ld))轻松检查边缘的两个点。 Ep - 边缘点，Lp - 线上的某个点，Ld - 线的方向矢量cross_product(A,B)=Ax*By-Ay*Bx。

为了处理无限多边形，我们可能会引入“无限点”。如果我们有点E1和方向Ed的半无限边，则其“第二点”类似于E1+infinity*Ed，其中infinity是“足够大的数字”。< / p>

对于“无限分”，检查会略有不同： cross_product(Ep-Lp,Ld)= =cross_product(E1+infinity*Ed-Lp,Ld)= =cross_product(E1-Lp+infinity*Ed,Ld)= =cross_product(E1-Lp,Ld)+cross_product(infinity*Ed,Ld)= =cross_product(E1-Lp,Ld)+infinity*cross_product(Ed,Ld)

如果cross_product(Ed,Ld)为零（线与边平行），则符号将由第一个组件确定。否则，第二个组件将主导并确定标志。