整数分解和密码学

Question

我知道公钥加密使用素数， 还知道两个大的（例如100位）素数（P，Q）用作私钥， 该产品是公钥N = P * Q， 并且使用素数是因为N的因式分解以获得P，Q是非常困难并且花费很多时间， 我很好，但我很困惑 为什么不使用P，Q的任何普通的大非素数 所以N的分解仍然是困难的 因为现在，不仅有两个因素可能，甚至更多。

感谢....

Answer 1

我不是加密专家。

  

为什么不使用任何普通的大型   P，Q的非素数

因为会有更多因素。整数分解是对公共私钥加密的攻击。这种攻击利用了这种关系。

人们可以更容易地找到具有更多共同因素的关系和可能的值。它归结为代数。

N = P * Q

如果P和Q都是Prime，那么N有4个因子{N P Q 1}

然而！ 如果P和Q都共有一个因子2

N / 4 = P / 2 * Q / 2

如果N可能是0..2 ^ 4096，那么它现在是0..2 ^ 4094，因为2是一个因素，另一个大数字也是一个因素。

这意味着我可以找到P，Q S.T的标量倍数P'，Q'。 P'，Q'＆lt; P，Q

我自己并不完全理解这个概念，但我相信这表明了我的目标。

你必须搜索一个较小的空格，直到你强行关键。

Answer 2

完全可以使用RSA，模数N由两个以上的素因子P和Q组成，但必须注意两件事：

1. 您必须知道所有这些因素的确切值，否则您将无法在生成密钥时从公钥派生私钥。双素数RSA的等式是1 = D * E（mod LCM（P-1，Q-1））。如果您执行了解这些素数因素，则可以执行计算。如果您不知道无法执行此计算的素数因素，那么BTW是为什么公钥E，N公开是安全的原因 - 您无法派生私钥D如果您只有从公钥中轻松获得的信息，除非您能够计算N.

2. RSA的安全性有效地受到RSA模数N的第二大素因子的大小限制。找到小于2 ^ 32的小素数因子可以在几分之一秒内完成现代计算机，简单地通过尝试将模数N除以每个这样的素数并检查残差是否为零（意味着N可被该数除除）或不（意味着该数不是N的因子）。如果N仅由这样小的素因子乘以单个大素因子Q组成，那么简单地通过将N除以所有小因子得到N'并测试N'的素数来找到Q也是微不足道的。如果N'是素数，则它是Q的最后一个因素。

Answer 3

我不是真正的密码学专家（所以，如果我错了，只是在评论中告诉我，我会立即删除这个答案），但我认为这是因为如果你只是使用随机大数字，你可能会得到容易因素的（即你不必得到真正大的素数来得到它们的素因子）。所以只使用了很大的保证素数。