整数分解

Question

有人可以向我解释为什么下面的算法是一个无差错的整数分解方法，总是返回N的非平凡因子。 我知道这听起来有多奇怪，但是我在2年前设计了这种方法，但仍然不理解它背后的数学逻辑，这使我难以改进它。这很简单，只涉及加法和减法。

public static long factorX( long N )
{
    long x=0, y=0;
    long b = (long)(Math.sqrt(N));
    long a = b*(b+1)-N;
    if( a==b ) return a;

    while ( a!= 0 )
    {
        a-= ( 2+2*x++ - y);
        if( a<0 ) { a+= (x+b+1); y++; }
    }

return ( x+b+1 );
}

似乎上述方法实际上通过迭代到丢番叶方程找到了解决方案：

f(x,y) = a - x(x+1) + (x+b+1)y
where b = floor( sqrt(N) ) and a = b(b+1) - N
that is, when a = 0, f(x,y) = 0 and (x+b+1) is a factor of N.

Example: N = 8509  
b = 92, a = 47  
f(34,9) = 47 - 34(34+1) + 9(34+92+1) = 0  
and so x+b+1 = 127 is a factor of N.  

重写方法：

public static long factorX(long N)
{
long x=1, y=0, f=1;
long b = (long)(Math.sqrt(N));
long a = b*(b+1)-N;
if( a==b ) return a;

  while( f != 0 )
  {
    f = a - x*(x+1) + (x+b+1)*y;
      if( f < 0 ) y++;
    x++;
  }

return x+b+1;
}  

我真的很感激有关如何改进这种方法的任何建议。

以下是10个18位随机半实数的列表：

349752871155505651 = 666524689 x 524741059   in 322 ms
259160452058194903 = 598230151 x 433211953   in 404 ms
339850094323758691 = 764567807 x 444499613   in 1037 ms
244246972999490723 = 606170657 x 402934339   in 560 ms
285622950750261931 = 576888113 x 495109787   in 174 ms
191975635567268981 = 463688299 x 414018719   in 101 ms
207216185150553571 = 628978741 x 329448631   in 1029 ms
224869951114090657 = 675730721 x 332780417   in 1165 ms
315886983148626037 = 590221057 x 535201141   in 110 ms
810807767237895131 = 957028363 x 847213937   in 226 ms
469066333624309021 = 863917189 x 542952889   in 914 ms

Answer 1

好的，我用Matlab看看这里发生了什么。这是N = 100000的结果： 您在每次迭代时增加x，而a变量的有趣模式与其余N % x+b+1密切相关（正如您在图的灰线中所见，{{1 }}）。 因此，我认为你只是通过简单的迭代找到大于a + (N % (x+b+1)) - x = floor(sqrt(N))的第一个因子，但是用一个相当模糊的标准来确定它真的是一个因素：D （对不起半答案......我必须离开，我可能会在以后继续）。

这是matlab代码，以防您希望自己进行测试：

sqrt(N)

Answer 2

您的方法是（n-a）*（n + b）的试验乘法的变体，其中n = floor（sqrt（N））和b == 1.

算法然后迭代a - / b ++直到（n-a）*（n + b） - N == 0的差异。

部分差异（关于a和b）分别与2b和2a成比例。因此，不需要真正的乘法。

复杂性是| a |的线性函数或| b | - N越“平方”，方法收敛得越快。总之，有更快的方法，最容易理解的是二次残留筛。

Answer 3

原谅我的＃，我不懂Java。 将x和y步进2可提高算法速度。

＆＃13;

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{{1}}

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