y为旋转椭圆的解

Question

我希望通过扫描线绘制椭圆，为x的每个值找到y的值。

对于普通椭圆，公式很容易找到：y = Sqrt [b ^ 2 - （b ^ 2 x ^ 2）/ a ^ 2]

但是当椭圆的轴旋转时，我从来没有弄清楚如何计算y（可能还有x的范围）

Answer 1

以参数形式

x[t]= a Cos[t] Cos[psi] - b Sin[t] Sin[psi]

y[t]= b Cos[psi] Sin[t] + a Cos[t] Sin[psi]

其中psi是旋转角度， a 和 b 是半轴。

参数t从0到2 Pi。

或者如果您更喜欢笛卡尔非参数形式：

(a x^2+b y^2) Cos[psi]^2 + (b x^2 +a y^2) Sin[psi]^2 + (a-b) x y Sin[2 psi]==1

得到y [x]的两个可能解的结果，相当于非旋转情况下平方根的两个解：

y -> (-(Sqrt[2]*Sqrt[a + b - 2*a*b*x^2 + (-a + b)*Cos[2*psi]]) + 
       (-a + b)*x*Sin[2*psi]) / (2*(b*Cos[psi]^2 + a*Sin[psi]^2))

y ->   (Sqrt[2]*Sqrt[a + b - 2*a*b*x^2 + (-a + b)*Cos[2*psi]] + 
       (-a + b)*x*Sin[2*psi])/ (2*(b*Cos[psi]^2 + a*Sin[psi]^2))

嗯，你要求：）

这些功能给出：

x的限制是：

LimitX= +/- Sqrt[a + b + (-a + b)*Cos[2*psi]]/(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sqrt[b])