Question

如何测试点P = [xp，yp]是否在由中心C = [x，y]，a，b和phi（旋转角度）给出的某个旋转椭圆的内部/外部？

此时我正在使用以下解决方案：旋转椭圆并用角度-phi指向，然后对点的位置和“非旋转”椭圆进行常见测试。

但是有很多测试点（数千），我发现这个解决方案很慢。是否有任何直接且更有效的方法来获得旋转椭圆的位置和点？

我不需要代码而是算法。谢谢你的帮助。

Answer 1

另一个选择就是将所有内容都放入2D旋转椭圆的等式中，看看结果是否小于1。

如果以下不等式为真，那么椭圆内部就会有一个点

ellipse equation

其中（xp，yp）是点坐标，（x0，y0）是椭圆的中心。

我实施了一个小的 Mathematica 程序，证明这确实有效： Manipulate screen shot

这是在行动：

Animation

以下是代码：

ellipse[x_, y_, a_, b_, \[Alpha]_, x0_: 0, y0_: 0] := 
     (((x - x0)*Cos[\[Alpha]] + (y - y0)*Sin[\[Alpha]])/a)^2
   + (((x - x0)*Sin[\[Alpha]] - (y - y0)*Cos[\[Alpha]])/b)^2;

Manipulate[
 RegionPlot[
  ellipse[x, y, a, b, \[Alpha] \[Degree], Sequence @@ pos] < 1, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, 
  PlotStyle -> If[ellipse[Sequence @@ p, a, b, \[Alpha] \[Degree], Sequence @@ pos] <= 1, Orange, LightBlue], 
  PlotPoints -> 25]
, {{a, 2}, 1, 5, Appearance -> "Labeled"}
, {{b, 4}, 2, 5, Appearance -> "Labeled"}
, {\[Alpha], 0, 180,  Appearance -> "Labeled"}
, {{p, {3, 1}}, Automatic, ControlType -> Locator}
, {{pos, {0, 0}}, Automatic, ControlType -> Locator}]

Answer 2

您只需将数据输入上述公式即可。这是我在Ajasja的建议中实现的python实现：

def pointInEllipse(x,y,xp,yp,d,D,angle):
    #tests if a point[xp,yp] is within
    #boundaries defined by the ellipse
    #of center[x,y], diameter d D, and tilted at angle

    cosa=math.cos(angle)
    sina=math.sin(angle)
    dd=d/2*d/2
    DD=D/2*D/2

    a =math.pow(cosa*(xp-x)+sina*(yp-y),2)
    b =math.pow(sina*(xp-x)-cosa*(yp-y),2)
    ellipse=(a/dd)+(b/DD)

    if ellipse <= 1:
        return True
    else:
        return False

Answer 3

为了处理椭圆，我更喜欢将它们转换为另一个坐标系，其中椭圆是以原点为中心的单位圆。

如果您将椭圆视为单位圆（半径1），按（a，b）缩放，按phi旋转并按（x，y）变换，则生活变得更加容易。如果您有转换矩阵，则可以使用它来执行更容易的包含查询。如果将点变换为椭圆为单位圆的坐标系，则您所要做的就是点对点圆测试，这是一项微不足道的测试。如果“transform”是一个矩阵，如上所述将单位圆转换为椭圆，那么

transformedPoint = transform.Invert().Transform(point);
pointInEllipse = transformedPoint.DistanceTo(0,0) < 1.0;

Answer 4

这是算法，我让你开发代码：

确定椭圆中心与点之间的向量v1
确定世界坐标中矢量v1和x轴之间的角度a1
从a1中减去phi得到a2，我们的局部坐标向量角度
确定椭圆上的点P2在本地坐标中的角度a2处，而不是由（x，y）偏移
计算L1和L2，矢量长度为a1和a2

评价为：

如果L1 < L2点在里面
如果L1 = L2（加/减小公差），则该点位于椭圆上
如果L2> L2点在外面

椭圆参数公式：

x = a * cos（u）
y = b * sin（u）

在-pi和+ pi之间有效。将phi添加到u以旋转椭圆。

上述算法可以通过椭圆方程进行简化和优化。

Answer 5

Matplotlib在补丁类中有一个Ellipse方法，允许您询问一个点是在补丁内部还是外部。检查here并查找方法contains_point（）。您将需要使用Ellipse类创建椭圆，然后就好像内部有一个点。顺便说一下，matplotlib是python的一个包。

点和椭圆（旋转）位置测试：算法

5 个答案: