为什么这段代码的时间复杂度为O（N * N）？

Question

int a = 0;
for (i = 0; i < N; i++) {
    for (j = N; j > i; j--) {
        a = a + i + j;
    }
}

为什么这段代码的时间复杂度为O（N N）？是否所有具有n，m，q，....边界的嵌套循环都具有O（n m * q ....）的复杂度，即使循环的迭代很少也不会发生？

Answer 1

原因是Big-O表示法中忽略了常数因子。

您的外部循环运行N次，而内部循环平均N/2次运行每次外部迭代。

这使内部循环中的语句执行O(N * 1/2 * N)。由于我们忽略了常数因素，因此最终得到的O(N * N)为O(N^2)。

省略常量的原因很简单：Big-O表示法是关于N很大时会发生什么。如果你以这种方式看待它 - O((N^2)/2) - 你会发现N增加{{1}}在这个词中的影响要大于我们是否省略了除法。

Answer 2

我不会说所有嵌套循环都具有这种复杂性，但这肯定会有。通过内部循环的迭代次数是这样的（可能存在一个一个错误）：

• i = 0：N次
• i = 1：N - 1次
• i = 2：N - 2次
• 。 。
• i = N-1：1次
• i = N：0次

让我们计算调用最里面代码的总次数。在这种情况下，您可以算术地计算出来。最里面的代码执行大约N * (N + 1) / 2次（这是sum of elements from 1 to N）。这简化为0.5 * N^2 + 0.5 * N，其复杂度为N^2。