选择点数最多的点的最有效方法

Question

N.B：问题的底部有一个重要的编辑 - 检查出来

问题

说我有一套要点：

我希望找到围绕它的点数最多的点，在半径（即圆圈）内或在（即正方形）的2维点内。我将它称为最密集的函数。

对于此问题中的图表，我将周围区域表示为圆圈。在上图中，中间点的周围区域以绿色显示。此中间点具有半径内所有点的最大周围点，并且将由最密集的点函数返回。

我尝试了什么

解决此问题的可行方法是使用范围搜索解决方案; this answer进一步解释，并且“ 最坏情况时间”。使用它，我可以获得每个点周围的点数，并选择具有最大周围点数的点。

然而，如果积分非常密集（大约一百万），那么：

然后，这些百万点（）中的每一个都需要进行范围搜索。最差情况时间，其中 是范围内返回的点数，对于以下点树类型为真：

• 二维的kd-trees（实际上稍差，），
• 2d-range trees，
• 四叉树，最坏情况下的时间为

因此，对于组内所有点的半径内的一组点，它为每个点提供了的复杂性。这产生了超过一万亿次的操作！

有关实现这一目标的更有效，更精确的方法的任何想法，以便我能够在合理的时间内（最好或更少）找到一组点数最多的点数？

修改

原来上面的方法是正确的！我只需要帮助实现它。

的（半）溶液

如果我使用二维范围树：

• 范围报告查询费用，用于返回的点
• 对于具有分数级联的范围树（也称为分层范围树），复杂度为，
• 对于2个维度，即，
• 此外，如果我执行范围计数查询（即，我不报告每个点），则费用为。

我会在每一点上执行此操作 - 产生我想要的复杂度！

的问题

但是，我无法弄清楚如何为2d分层范围树的计数查询编写代码。

我找到了一个关于范围树的great resource (from page 113 onwards)，包括2d-range树的伪代码。但我无法弄清楚如何引入分数级联，也不知道如何正确实现计数查询，使其具有O(log n)复杂度。

我还在Java中找到了两个范围树实现here和here，在C ++ here中找到了一个，尽管我不确定它是否使用了分数级联，如上所述

的countInRange方法

  

在最坏的情况下返回这些点的数量       * O（log（n）^ d）时间。在最坏的情况下，它也可以返回矩形中的点       * O（log（n）^ d + k）时间，其中k是矩形中的点数。

这对我来说意味着它不适用于分数级联。

精致问题

为了回答上面的问题，我需要知道的是，是否存在具有分数级联的2d范围树的库，其具有复杂度的范围计数查询，所以我不会重新发明任何轮子，或者你能帮助我编写/修改上面的资源来执行复杂性的查询吗？

如果你能提供任何其他方法来实现中任意其他方式的2d点数的范围计数查询，也不要抱怨！

Answer 1

我首先要创建像https://en.wikipedia.org/wiki/K-d_tree这样的东西，在树上有一个带叶点的树，以及每个节点有关其后代的信息。在每个节点，我会保留一个后代数的计数，以及一个包围这些后代的边界框。

现在，对于每一点，我都会递归搜索树。在我访问的每个节点上，要么所有的边界框都在当前点的R内，所有的边界框都比当前点的R大，或者其中一些在R内，一些在R外。在第一个case我可以使用当前节点的后代数量的计数来增加当前点的R内的点数，并返回递归的一个级别。在第二种情况下，我可以简单地返回一级递归而不增加任何东西。只有在中间情况下我需要继续递归树。

因此，我可以为每个点计算R中邻居的数量，而不检查其他每个点，并选择具有最高计数的点。

如果点均匀分布，那么我认为你最终将构建一个kd树，其中较低的水平接近常规网格，我认为如果网格的大小为A x A，那么在最坏的情况下R足够大，以便它的边界是一个与O（A）低级单元格相交的圆，所以我认为如果你有O（n）个点你可以预期这会花费大约O（n * sqrt（n））。 / p>

Answer 2

我建议使用plane sweep algorithm。这允许一维范围查询而不是二维查询。 （哪个更有效，更简单，并且在方形邻域的情况下不需要分数级联）：

1. 按Y坐标对数组S进行排序。
2. 向阵列S前进3个指针：当前检查（中心）点的一个（C）;另一个，距离最近点的A（略微前进）＆gt; R低于C;最后一个，B（略微落后）距离最远点＆lt; R高于它。
3. 将A指向的点插入Order statistic tree（按坐标X排序），并从此树中删除B指向的点。使用此树从C到左/右距离R处找到点，并使用这些点的差异＆＃39;树中的位置以获得C周围方形区域的点数。
4. 使用上一步的结果选择＆＃34;大多数包围＆＃34;点。

如果您旋转点（或只是交换X-Y坐标）以使占用区域的宽度不大于其高度，则可以优化此算法。您还可以将点切割成垂直切片（具有R大小的重叠）并分别处理切片 - 如果树中有太多元素，使其不适合CPU缓存（这不太可能只有100万个点）。该算法（优化与否）具有时间复杂度O（n log n）。

对于圆形邻域（如果R不太大且点均匀分布），您可以用几个矩形近似圆：



在这种情况下，算法的第2步应使用更多指针，以允许插入/移出多个树。在第3步，您应该在适当距离（＆lt; = R）附近的点附近进行线性搜索，以区分圆内的点与其外的点。

处理圆形邻域的其他方法是近似具有相同高度的矩形的圆（但是这里的圆应该被分成更多的部分）。这导致了更简单的算法（使用排序数组而不是订单统计树）：

1. 将点占据的区域切割为水平切片，按Y排序切片，然后按切片对切片内的点进行排序。
2. 对于每个切片中的每个点，假设它是一个＆＃34;中心＆＃34;指出并做第3步。
3. 对于每个附近的切片使用二进制搜索来找到欧几里德距离接近R的点，然后使用线性搜索来告诉＆＃34;内部＆＃34;来自＆＃34;外部＆＃34;那些。停止线性搜索，其中切片完全在圆内，并通过阵列中位置的差异计算剩余点。
4. 使用上一步的结果选择＆＃34;大多数包围＆＃34;点。

该算法允许前面提到的优化以及分数级联。

Answer 3

您可以通过在O(n)时间预处理数据来加速您使用的任何算法，以估算相邻点的数量。

对于半径 R 的圆，创建一个网格，其单元格在x方向和y方向都具有 R 维度。对于每个点，确定它属于哪个单元格。对于给定的单元格 c ，此测试很简单：

c.x<=p.x && p.x<=c.x+R && c.y<=p.y && p.y<=c.y+R

（您可能想深入思考封闭或半开放区间是否正确。）

如果您具有相对密集/同质的覆盖范围，则可以使用数组来存储值。如果coverage是稀疏/异构的，您可能希望使用散列映射。

现在，考虑网格上的一个点。单元内一个点的极值位置如下所示：

细胞角落的点只能是四个细胞中有点的邻居。沿着边缘的点可以是具有六个单元中的点的邻居。不在边缘上的点是具有7-9个单元格中的点的邻居。由于一个点很少精确地落在角落或边缘上，我们假设焦点单元格中的任何点都是与所有8个周围单元格中的点相邻的。

因此，如果 p 点位于单元格（x，y）中，N[p]会识别p内的Np[y][x]个邻居数radius R ，N[p]表示单元格（x，y）中的点数，然后N[p] = Np[y][x]+ Np[y][x-1]+ Np[y-1][x-1]+ Np[y-1][x]+ Np[y-1][x+1]+ Np[y][x+1]+ Np[y+1][x+1]+ Np[y+1][x]+ Np[y+1][x-1] 由下式给出：

O(n)

一旦我们估算了每个点的邻居数量，我们就可以将该数据结构堆积到best_found时间的最大值（例如make_heap）。该结构现在是一个优先级队列，我们​​可以按照估计的邻居数排序每个查询的 O（log n）时间点。

对第一点执行此操作并使用 O（log n + k）圈搜索（或更聪明的算法）来确定该点的实际邻居数。在变量N[p]中记下此点并更新其N[best_found]值。

窥视堆顶部。如果估计的邻居数量小于parameters = (testid, username, fullname, firstnumber, secondnumber, floatnumber, posts, country, bio, link) query = """ INSERT INTO info VALUES (%s, %s, %s, %s, %s, %s, %s, %s, %s, %s)""" cur.execute(query, parameters) ，那么我们就完成了。否则，请重复上述操作。

要改进估算，您可以使用更精细的网格，如下所示：

以及一些巧妙的滑动窗口技术，以减少所需的处理量（例如，对于矩形情况，请参阅this answer - 对于圆形窗口，您应该使用一组FIFO队列）。为了提高安全性，您可以随机化网格的原点。

再次考虑你提出的例子：

很明显，这种启发式方法有可能节省大量时间：使用上述网格，只需要执行一次昂贵的检查，以证明中间点具有最多的邻居。同样，更高分辨率的网格将改善估算并减少需要进行的昂贵支票的数量。

你可以而且应该使用类似的边界技术与mcdowella's answers一起使用;然而，他的答案并没有提供一个开始寻找的好地方，所以可以花很多时间去探索低价值点。