Question

我在非循环有向图中寻找源（s）和sink（t）之间的最短路径。该图具有拓扑顺序（时间）。所有边都有或负或空成本。是否仍然可以使用Dijkstra算法？该图表如下所示：graph example

通常Dijkstra不能使用负权重，因为节点只被探索一次（假设成本只能增加）。在这种情况下，由于我只有负（或空成本），并且成本只能降低，如果我按照拓扑顺序探索图形，确保路径是最优的？

谢谢

Answer 1

是的，这将是最佳的 - 但这不是Dijkstra的算法。

Dijkstra的算法根据当前的权重指定如何探索节点。来自original article：

第二组的最短分支将从此集中删除并添加到结果，一个节点从集合B转移到集合I.

您所描述的是一种不同的解决方案，并且有效：

D[source] = 0
D[v] = min {D[u] + w(u,v) | u in V}

现在，由于您遵循拓扑顺序，您可以通过归纳证明上述公式是正确的 - 因为假设归纳假设对u之前探索的所有v都是正确的，那么结论是D[v]也是正确的（因为它不会被重新打开）。

P.S。这个证明甚至不需要假设只有负权重，如果权重是混合的，那么效果很好，所以同样的解决方案也适用。

Answer 2

因此，您所看到的是具有正权重的图表上的最长路径（您只需要采用每个值的相反值）。对于一般图形，这个问题实际上是NP难的，但如果图形是有向无环图，则它在线性时间内变得可解。例如，here给出了一个非常好的解释。