Question

这不适用于家庭作业。我正在通过练习测试（未评分）为几周的决赛做准备。我不知道该去哪儿。

令G =（V; E）为n个顶点和m个边的DAG（有向无环图）。

E的每个边（u; v）具有权重w（u; v），其是任意值（正，零或负）。

设k为输入正整数。

如果路径不超过k个边，则G中的路径称为k-link路径。设s和t为G的两个顶点。从s到t的k-link最短路径被定义为从s到t的k-link路径，其具有所有可能的k-link s-to中的边缘权重的最小总和。 G.中的-t路径。

设计一个 O（k（m + n））时间算法来计算从s到t的k-link最短路径。

对此算法的任何帮助将不胜感激。

Answer 1

让dp[amount][currentVertex]给出G中最短路径的长度，该路径从s开始，在currentVertex结束，由amount边组成。

make all values of dp unset
dp[0][s] = 0

for pathLength in (0, 1, .. k-1)             // (1)
    for vertex in V
        if dp[pathLength][vertex] is set     
            for each u where (vertex, u) is in E    // (2), other vertex of the edge
                if dp[pathLength+1][u] is unset or greater than dp[pathLength][vertex] + cost(vertex, u)
                    set dp[pathLength+1][u] = dp[pathLength][vertex] + cost(vertex, u)

best = dp[k][t]
for pathLength in (0, 1, .. k)
    if dp[pathLength][t] < best
        best = dp[pathLength][t]

上面的算法将给出从G到s的k-link最短路径的长度。它的时间复杂度由循环的复杂性决定（1）。单独的循环（1）具有强制性O（k），而其内部 - （2）简单地遍历图形。如果使用邻接表，则（2）可以在O（n + m）中实现。因此总体复杂度为O（k *（n + m））。

但是，这只会给出路径的长度，而不是路径本身。您可以通过为dp[][]的每个值存储上一个顶点来修改此算法。因此，每当您为某些变量dp[pathLength+1][u]，dp[pathLength][vertex] + cost(vertex, u)，vertex设置u的值为pathLength时，您就会知道之前使用过的顶点是vertex。因此，您可以将其存储为prev[pathLength+1][u] = vertex。

之后，您可以获得您想要的路径。我们的想法是使用您在prev中创建的链接：

pLen = pathLength such that dp[pathLength][t] is minimal
curVertex = t

path = []           // empty array
while pLen >= 0
    insert curVertex in the beginning of path
    curVertex = prev[pLen][curVertex]
    pLen = pLen - 1

path存储了G中从s到t的k-link最短路径。

DAG Kth最短路径动态编程

1 个答案: