Question

我正试图（经典地）证明

~ (forall t : U, phi) -> exists t: U, ~phi

在Coq。我想要做的就是证明它是相反的：

1. Assume there is no such t (so ~(exists t: U, ~phi))

2. Choose arbitrary t0:U

3. If ~phi[t/t0], then contradiction with (1)

4. Therefore, phi[t/t0]

5. Conclude (forall t:U, phi)

我的问题在于第（2）和（5）行。我无法弄清楚如何选择U的任意元素，证明一些事情它，并结束了。

任何建议（我不承诺使用对立面）？

Answer 1

为了模仿你的非正式证明，我使用经典公理¬¬P→P（称为NNPP）[1]。应用之后，您需要用A：¬（∀x：U，φx）和B：¬（∃x：U，φx）来证明False。 A和B是推断False的唯一武器。我们试试A [2]。所以你需要证明∀x：U，φx。为了做到这一点，我们采用任意t 0并试图证明φt0成立[3]。现在，由于你处于经典设置[4]，你知道φt0成立（并且它已完成[5]）或¬（φt0）成立。但后者是不可能的，因为它会与B [6]相矛盾。

Require Import Classical. 

Section Answer.
Variable U : Type.
Variable φ : U -> Prop.

Lemma forall_exists: 
    ~ (forall x : U, φ x) -> exists x: U, ~(φ x).
intros A.
apply NNPP.               (* [1] *)
intro B.
apply A.                  (* [2] *)
intro t₀.                 (* [3] *)
elim classic with (φ t₀). (* [4] *)
trivial.                  (* [5] *)
intro H.
elim B.                   (* [6] *)
exists t₀.
assumption.
Qed.

Forall在coq中的介绍？

1 个答案: