coq：消除forall量词

Question

我想证明以下定理：

Theorem Frobenius (A: Set) (q: Prop) (p: A -> Prop) :
  (q \/ forall x : A, p x) -> (forall x : A, q \/ p x).

我已经得到以下证明：

Proof.
intro.
intro.
destruct H.
left.
assumption.

但现在我处于一种我不知道该怎么办的情况。我可以使用以下内容：

A : Set
q : Prop
p : A -> Prop
H : forall x : A, p x
x : A

我想证明以下子目标：

q \/ p x

如何消除给定前提下的forall量词

forall x : A, p x

即：我如何插入我的具体x：A以便我可以演绎：p x？

Answer 1

您可以使用specialize（x）在H中实例化通用量化的specialize (H x)。

Answer 2

可能是最简单的？

Theorem Frobenius (A: Set) (q: Prop) (p: A -> Prop) :
  (q \/ forall x : A, p x) -> (forall x : A, q \/ p x).
intro H.

elim H.
intros Hl x.
left.
exact Hl.

intros Hr x.
right.
apply Hr.