Question

我正在浏览软件基础这本书来学习 Coq ，我被卡在Numbers上。在此类型定义中

Inductive nat : Type :=
  | O : nat
  | S : nat -> nat.

我们在

的定义中使用它时，O如何成为0

Definition pred (n : nat) : nat :=
  match n with
    | O => O
    | S n' => n'
  end.

我只知道O表示自然数，而S表示自然数并返回另一个自然数。我不知道的是，在nat定义中使用我们定义的pred数据类型O如何代表0？ S n'模式匹配如何给我们n的前身。

Answer 1

佩诺诺号码

nat代表unary numeral system的自然数字。 nat类型的居民（值）为O，S O，S (S O)，S (S (S O))，...，S (S (S (S ... O)...)。

我们将符号O解释为自然数零。 S表示单个＆＃34; tick＆＃34;在一元表示中，即我们将S解释为构造函数（它与面向对象编程无关），它采用自然数并产生下一个自然数。

前身功能

在某种意义上，

pred实际上并不是一个表现良好的功能。

首先，当我们谈论自然数时，没有前导零。但是Coq中的所有函数都必须返回一个值，所以如果我们要保持pred的类型（nat -> nat），我们必须对pred O做一些事情。只需返回O并将其完成即可。这为我们提供了pattern-mathing表达式的第一个分支（O => O）。

接下来，当我们在代表1的数字上调用pred时，我们会返回什么？让我们回想一下，我们在Coq中用S O写了1。这很容易 - pred (S O)应该返回O。现在让我们试试2：pred (S (S O))应该返回S O。你看到这里的模式？如果我们在S前面有一堆O，我们会删除一个S - 就像那样简单。模式匹配表达式（S n' => n'）的第二个分支就是这样：它采用S n'形式的（非零）数字并将其转换为n'（不更改原来，当然）。

让我举个例子。让我们一步一步计算出数字3的前身：

pred (S (S (S O)))

展开pred的定义，将S (S (S O))替换为n：

match S (S (S O)) with
| O => O
| S n' => n'
end

S (S (S O))的格式为S n'（以S开头），因此我们将第二个分支绑定 n'带到{{1 }}。我们如何检查我们在这里没有犯错？如果我们将S (S O)的定义替换为n'，我们应该取回原S n'：n = S n' = S (S (S O))。

现在，我们只返回n：

n'

正如预期的那样，我们得到了2个结果！

不缩

0，S (S O)和0之间存在区别。第一个零（0）是自然数零的元级数字（它是我们如何在我们的元语言中指定零，例如在这种情况下为英语）。 O是0的表示法，换句话说O是0的句法糖。正如Coq参考手册所说（§1.2.4）：

数字在微积分中没有明确的语义。它们只是通过符号机制绑定到对象的符号（详见第12章）。最初，数字与Peano对自然数的表示有关（见3.1.3）。

很容易说明：

你可以重载数字，这是一个整数的例子：

Check 0.                     (* 0 : nat *)
Check 5.                     (* 5 : nat *)
Unset Printing Notations.    (* Print terms as is, no syntactic sugar *)
Check 0.                     (* O : nat *)
Check 5.                     (* S (S (S (S (S O)))) : nat *)

Upshot：相同的符号可以绑定到不同的术语。 Coq定义了一些默认符号，例如像数字这样无处不在的东西。

如果您想定义自己的类型来表示Set Printing Notations. Require Import Coq.ZArith.ZArith. Open Scope Z. Check 0. (* 0 : Z *) Check 5. (* 5 : Z *) Unset Printing Notations. Check 0. (* Z0 : Z *) Check 5. (* Zpos (xI (xO xH)) : Z *)和my_nat可能有不同名称的自然数字{O）（例如S和{{1} }}），你必须编写一个插件来将Coq数字映射到stop的条款上（参见here）。

Coano中的Peano数字实现

1 个答案:

佩诺诺号码

前身功能

不缩