Coq中的Peano算术

Question

Coq的standard library说，这种归纳类型给出了Peano自然数：

    [BsonSerializer(typeof(DictionarySerializer<
        Dictionary<FeatureToggleTypeEnum, LicenseFeatureStateEnum>, 
        EnumStringSerializer<FeatureToggleTypeEnum>,
        EnumStringSerializer<LicenseFeatureStateEnum>>))]
    public Dictionary<FeatureToggleTypeEnum, LicenseFeatureStateEnum> FeatureSettings { get; set; }

这听起来不错，因为我们可以在Coq中证明 Inductive nat := | O : nat | S : nat -> nat. 上所有Peano的公理，包括​​归纳原理，该归纳原理由Coq给出为nat。

但是此repo声称其Coq证明为Goodstein's theorem。而且我们知道，该定理不能仅用Peano的公理来证明。因此，似乎Coq的nat_ind比Peano的公理更强大，它更像是它们的模型，其中Goodstein定理是正确的。这是正确的吗？

Coq能否在nat上证明与ZFC集合论在标准自然数上所做的算术定理相同？如果我们在Coq中添加经典逻辑，则会出现同样的问题：

nat

其背后的根本问题是Coq证明的真实性。他们给予什么保证？我是一名开发人员，所以我对程序的证明特别感兴趣，因此对算术特别感兴趣。

Answer 1

你是对的。可以用Peano算术证明的任何结果也可以用Coq证明（至少，如果我们允许我们使用排除的中间数）；但是，有些Peano算法的句子无法在该系统中证明，但可以在Coq中证明。

Benjamin Werner showed认为，Coq和ZFC在表达能力上几乎是等效的：如果假设足够大的基数，则可以在ZFC中解释Coq，并且可以通过假设一些非-K来解释Coq中的ZFC。建设性公理。 （当然，计算机验证的Coq证明的状态更为复杂，因为Coq中实现的理论与该论文中所考虑的理论略有不同，并且Coq实现或计算机运行中可能存在错误。它。