Question

我想证明减法不会在Coq中通勤，但我被卡住了。我相信我想在Coq中证明的陈述将写成forall a b : nat, a <> b -> a - b <> b - a

到目前为止，我的证据就是这些。

Theorem subtraction_does_not_commute :
  forall a b : nat, a <> b -> a - b <> b - a.
Proof.
  intros a b C.
  unfold not; intro H.
  apply C.

我想我可以使用C : a <> b来反驳目标a = b。

Answer 1

解决此问题的一种方法是在a上使用归纳法。但是，如果您使用

开始校对

intros a b C; induction a.

你会被卡住，因为上下文会有以下假设：

C : S a <> b
IHa : a <> b -> a - b <> b - a

您将无法使用归纳假设IHa，因为无法从IHa推断出a <> b（S a <> b）的前提：例如1 <> 0并不意味着0 <> 0。

但我们可以通过不过早地将变量引入上下文来使归纳假设变得更强：

Require Import Coq.Arith.Arith.

Lemma subtraction_does_not_commute :
  forall a b : nat, a <> b -> a - b <> b - a.
Proof.
  induction a; intros b C.
  - now rewrite Nat.sub_0_r.
  - destruct b.
    + trivial.
    + repeat rewrite Nat.sub_succ. auto.
Qed.

或者，或者，使用omega策略，我们得到一个单行证明：

Require Import Omega.

Lemma subtraction_does_not_commute :
  forall a b : nat, a <> b -> a - b <> b - a.
Proof. intros; omega. Qed.

减法的Coq证明不通勤

1 个答案: