为什么带分号的证明不适用于句点？

Question

以下证明在 Coq in a Hurry 中给出：

client-side []

我一步一步地试着去理解发生了什么，但是在解决基本情况后，归纳假设是不一样的！因此，战术失败了：

Fixpoint add n m := match n with 0 => m | S p => add p (S m) end.
Lemma exercise6 : forall n m, add n (S m) = S (add n m).
Proof.
  induction n; intros m; simpl.
    reflexivity.
  rewrite IHn; reflexivity.
Qed.

他们在盯着＆＃34;重写＆＃34;的线路上失败，出现以下错误：

  

错误：在当前目标中找不到子项匹配Lemma exercise6' : forall n m, add n (S m) = S (add n m). Proof. induction n. intros m. simpl. reflexivity. rewrite IHn. reflexivity. Qed. 。

为什么在逐步编写时相同的代码会失败？分号和句号有什么区别？

此外，有没有办法可以查看 Coq in a Hurry 中提供的证明的逐步进展？

Answer 1

Here is a related answer

简而言之：

• induction n生成2个子目标。
• A;B将策略B应用于所有 A生成的子目标

所以在这里，intros m; simpl适用于induction生成的2个目标。这意味着您可以通过在intros m之前插入额外的simpl和额外的rewrite来修复您的第二个脚本：

Lemma exercise6' : forall n m, add n (S m) = S (add n m).
Proof.
  induction n.
  intros m.
  simpl.
  reflexivity.
  intros m.
  simpl.
  rewrite IHn.
  reflexivity.
Qed.

顺便说一句，通过使用项目符号来划分各种子目标，可以使校对脚本的结构更加清晰。这提供了以下两个脚本，您可以在exercise6中看到intros m; simpl在进入子目标之前执行了，而在exercise6'中，他们已被推入每个子目标：

Lemma exercise6 : forall n m, add n (S m) = S (add n m).
Proof.
  induction n; intros m; simpl.
  - reflexivity.
  - rewrite IHn; reflexivity.
Qed.

Lemma exercise6' : forall n m, add n (S m) = S (add n m).
Proof.
  induction n.
  - intros m.
    simpl.
    reflexivity.
  - intros m.
    simpl.
    rewrite IHn.
    reflexivity.
Qed.