Question

我目前正在使用 FFTW3 库来执行3d快速傅里叶变换关于 3d复杂数据集（空间中轨道的复数值，在一组网格点（x，y，z））。

实际上，每个采样方向都保持M = 2 * N + 1个采样点。举个例子，x，y和z方向特征（这里是21点）[-10，-9，...，0， 1，...，9,10]，在这种情况下，网格间距为dr = 1。

因此，我正在考虑一个大小数据数组（M，M，M）。数据直观地存储数据（x，y，z），即数据（1,1,1）对应于网格点（-10，-10，-10）处的复数值，而数据（21,21， 21）以空间点（10,10,10）的值为特征; （数据（11,11,11）应对应于网格点（x = 0，y = 0，z = 0））。

摘自我的 Fortran foo.f90程序（为简单起见而修改）。

    integer, parameter :: dp = kind(4.0d0)
    integer, parameter :: dpc = kind(8.0d0)
    !library
    include "fftw3.f"
    integer(dpc) :: plan_forward

    !Number of Data points (same for each direction x,y,z)
    integer(dp),parameter :: M = 21

    ! Complex in- and output
    complex(dpc), dimension(M,M,M) :: data
    complex(dpc), dimension(M,M,M)  :: FT



    ! Make a plan for the FFT, and forward transform the data.

   call dfftw_plan_dft_3d ( plan_forward, M, M, M,data ,FT ,FFTW_FORWARD, FFTW_ESTIMATE )


   call dfftw_execute ( plan_forward, data, FT )

此外，我的傅立叶变换输出FT的大小为MxMxM。（我已经交叉检查：执行逆傅里叶变换（FFTW_BACKWARD），恢复我的初始原始数据集（x，y，z）。）

现在解决我的问题，因为我在阅读有关1d，2d和3d案例（真实和复杂）时感到困惑：我需要弄清楚，哪个数组条目对应于哪个倒数k向量/值，或换句话说：哪个 k -vector（kx，ky，z）确实对应到FT（1,1,1），FT（11,11,11），FT（21,21,21）等。

此外，我也不确定：我的kx，ky，kz值在哪个范围内以及倒数网格间距（dk）是什么？

我对此的看法：

（ⅰ）首先，每个方向kx，ky，kz的最大k向量（kmax）应该由最小波长定义，该最小波长由我的网格大小及其间距dr决定。

kmax = 2 * pi / dr（所有方向都相同kx，kx，kz）

（ⅱ）另一方面，我在k空间中的间距由我框中最大波长拟合来定义：

dk = 2 * pi /（（M-1）* dr）

（iii）每个k方向由该倒数空间中的M个点组成（对于每个方向kx，ky，kz）。然而，要弄清楚kx，ky，kz的范围，我必须考虑Nquist-shannon定理（我是对的吗？）：因此，kx（和ky，kz分别为）在[-kmax /的范围内] 2，...，0，...，kmax / 2]具有dk的离散步骤。

我非常感谢任何想法，傅里叶变换后的MxMxM的数组输入对应于哪个倒数 k 值以及如何找出正确对应的kx，ky ，kz值和范围。

理解Fortran中FFTW的复FFT输出

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